clefs, celle qui a été le mieux étudiée, celle qui est le plus anciennement connue, est celle que l'on est convenu de représenter par le symbole V-1.
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Hamilton est le créateur d'un système d'imaginaires auxquelles il a donné le nom de quaternions; ces imaginaires contiennent trois clefs; elles sont par conséquent de la forme
ai + bj + ck + d.
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Autrefois, les quantités imaginaires avaient en elles quelque chose de fantastique: elles ne représentaient rien, elles servaient d'instrument dans les recherches; mais à la suite d'une découverte due à l'emploi des imaginaires, les géomètres amis de la rigueur réclamaient une confirmation du résultat obtenu, par d'autres voies: c'est ce qui a valu leur nom à ce genre de quantités.
H. Laurent.
Je montre au début ce qui constitue vraiment la ligne de séparation de l'arithmétique et de l'algèbre.
Tant que les grandeurs ne sont considérées que dans leurs modules, c'est-à-dire dans leurs rapports abstraits avec l'unité choisie, on fait de l'arithmétique ou de l'arithmologie. On établit les règles de calcul sur les modules ou sur les nombres; on étudie les propriétés diverses des nombres entiers auxquels tous les autres se ramènent.
Quand, à la considération du module, on joint celle de la direction et que l'on représente les grandeurs directives par un symbole complexe qui donne à la fois le module et l'argument, c'est-à-dire un signe marquant nettement le sens de la grandeur, on fait de l'algèbre.
Les grandeurs directives que l'on étudie dans les diverses branches des sciences peuvent être classées en plusieurs groupes:
1o Les unes, et c'est le plus grand nombre, ne sont susceptibles que de deux sens opposés l'un à l'autre... On pourrait les désigner sous le nom de grandeurs diodes...
2o D'autres grandeurs, qu'on pourrait nommer polyodes, peuvent avoir toute direction, soit sur un plan, soit dans l'espace...
... On les représente par des droites de longueurs déterminées suivant leurs modules, portées dans certaines directions, à partir d'un point-origine.
Il faut distinguer particulièrement les grandeurs polyodes planes... Ces grandeurs polyodes planes comprennent évidemment les grandeurs diodes, comme cas particulier.
3o Les grandeurs absolues, dans l'étude desquelles l'idée de direction n'intervient pas, peuvent aussi être regardées comme un cas particulier des grandeurs polyodes planes, car on peut toujours représenter leur module par la longueur d'une droite et porter ce module dans une même direction, sur un axe indéfini, à partir d'une origine fixe. Les grandeurs absolues ainsi représentées pourraient être appelées monodes.
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L'algèbre, comme nous l'entendons, a pour but de donner les règles de calcul des grandeurs polyodes planes...
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Les considérations un peu nouvelles que j'ai développées... renferment implicitement les règles du calcul des équipollences de M. Bellavitis.
Les idées philosophiques qui m'ont guidé... me conduisaient naturellement à la considération des symboles propres à représenter les grandeurs polyodes de l'espace, c'est-à-dire aux quaternions d'Hamilton.
J. Bourget.
Ce n'est plus l'algèbre qui est responsable de cette manifestation de résultats impossibles, c'est nous-mêmes qui y donnons lieu par l'introduction de certaines contradictions dans nos demandes. Cette circonstance dans laquelle l'esprit du calculateur intervient comme partie au débat, nous paraît mériter une attention toute particulière. Il est intéressant d'étudier comment, dans ce cas, la réaction de l'algèbre cherche à se mettre en équilibre avec l'action égarée de notre intelligence; comment elle se maintient dans le vrai alors que nous voudrions l'entraîner dans le faux, comment du moins elle refuse de nous suivre dans cette voie, et par quels moyens, toujours logique et toujours utile, tout en nous disant que nous l'avons frappée d'impuissance, elle nous indique en quoi consiste l'erreur que nous n'avions pas même soupçonnée.
Vallès.
Les difficultés relatives à plusieurs symboles singuliers auxquels conduisent les calculs algébriques et notamment aux expressions dites imaginaires, ont été, ce me semble, beaucoup exagérées par suite des considérations purement métaphysiques qu'on s'est efforcé d'y introduire, au lieu d'envisager ces résultats anormaux sous leur vrai point de vue, comme de simples faits analytiques. En les considérant ainsi, il est aisé de reconnaître, en thèse générale, que l'esprit de l'analyse mathématique consistant à considérer les grandeurs sous le seul point de vue de leurs relations, et indépendamment de toute idée de valeur déterminée, il en résulte nécessairement pour les analystes, l'obligation constante d'admettre indifféremment toutes les sortes d'expressions quelconques que pourront engendrer les combinaisons algébriques. S'ils voulaient s'en interdire une seule à raison de sa singularité apparente, comme elle est toujours susceptible de se présenter d'après certaines suppositions particulières sur les valeurs des quantités considérées, ils seraient contraints d'altérer la généralité de leurs conceptions, et en introduisant ainsi, dans chaque raisonnement, une suite de distinctions vraiment étrangères, ils feraient perdre à l'analyse mathématique son principal avantage caractéristique, la simplicité et l'uniformité des idées qu'elle combine.
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Relativement aux quantités négatives qui ont donné lieu à tant de discussions déplacées... il faut distinguer, en considérant toujours le simple fait analytique, entre leur signification abstraite et leur interprétation concrète qu'on a presque toujours confondues jusqu'à présent. Sous le premier rapport, la théorie des quantités négatives peut être établie d'une manière complète par une seule vue algébrique. Quant à la nécessité d'admettre ce genre de résultats, concurremment avec tout autre, elle dérive de la considération générale que je viens de présenter: et quant à leur emploi comme artifice analytique pour rendre les formules plus étendues, ce mécanisme de calcul ne peut réellement donner lieu à aucune difficulté sérieuse. Ainsi, on peut envisager la théorie abstraite des quantités négatives comme ne laissant rien d'essentiel à désirer, mais il n'en est nullement de même pour leur théorie concrète.
Aug. Comte.
Partons de l'échelle des nombres entiers; entre deux échelons consécutifs intercalons un ou plusieurs échelons intermédiaires, puis entre ces échelons nouveaux d'autres encore et ainsi de suite indéfiniment. Nous aurons ainsi un nombre illimité de termes, ce seront les nombres que l'on appelle fractionnaires, rationnels ou commensurables. Mais ce n'est pas assez encore; entre ces termes qui sont pourtant déjà en nombre
