más tarde en el siglo XIX, una teoría no euclidiana que absorbió la euclidiana como un caso particular, y la extendió a dominios que la de su griego autor nunca cubrió, como la geometría esférica.
En el caso de la integración, tema fundamental de este libro, hay también una larga historia. Este modesto texto no se propone más que mostrar la forma en que de nuestros días se ha sintetizado su teoría para ser enseñada en las aulas universitarias. Hemos escogido una forma sucinta de presentar los principales hitos, sus consecuencias y aperturas, para que los estudiantes dispongan de una referencia rápida, con algunos guiños para aquellos que quieran explorar temas relacionados que escapan a los contenidos programáticos.
Y la síntesis que hoy enseñamos se basa en el rico debate sobre los fundamentos de la integración que comenzó en las postrimerías del siglo XIX, continuando en el siglo XX. Son muchos los nombres que habría que citar en esa génesis: desde Cauchy, Riemann, pasando por Borel, un Weierstrass siempre presente, Stieltjes, Volterra, Cantor y sus indagaciones en la Teoría de Conjuntos, para culminar en los trabajos de Henri Lebesgue y Percy J. Daniell, además de los aportes posteriores de Beppo-Levi, Fubini y Kolmogorov, entre muchos otros a quienes pido excusas por omisión involuntaria. El lector interesado en el recuento histórico de los avances en esta teoría, puede consultar a este respecto el excelente libro de Iván Pesin [39] que rinde justicia a todos los creadores involucrados en este proceso hasta mediados del siglo XX.
Henri Lebesgue (1875-1941).
El francés Henri Lebesgue (1S75-1941), construyó las bases de la llamada Teoría de la Medida, a través de la cual se asigna un número a un conjunto y de ahí se construye luego la integral de una función (cf. [29], [30], [28], [31]). Es el punto de vista que permitió posteriormente el desarrollo de la llamada medida abstracta, que inspira estas notas de curso.
El británico, nacido en Chile, Percy John Daniell (1889-1946), desarrolló la integración desde una óptica distinta en sus trabajos de los años 1918-1919 ([6], [7], [8]). Daniell define primero la integral como un funcional sobre un espacio de funciones y la medida aparece luego como dicho funcional aplicado a la función característica de un conjunto. Es el llamado punto de vista funcional de la teoría, que será explicado en un futuro segundo volumen sobre el tema.
Percy-John Daniell (1889-1946).
A ambos fundadores del actual estado de la teoría que expongo en las páginas siguientes, les correspondió vivir una época marcada por guerras destructoras, por una parte, contrastadas por revoluciones científicas y artísticas creadoras: nacimiento de nuevas teorías en física (relatividad, mecánica cuántica), derrumbe del programa de Hilbert provocado por el Teorema de Godel, en medio de la eclosión del impresionismo del siglo XIX y sus derivados del siglo XX. Una época de comunicaciones aún difíciles, de mucho tren, barcos e incipientes vuelos. Invito al lector a seguir ahora el hilo de sus ideas en nuestra ciencia.
Portada de la primera edición del libro de Henri Lebesgue.
Agradezco el apoyo otorgado por la Vicerrectoría de Comunicaciones de la Pontificia Universidad Católica y Ediciones UC para la publicación de esta obra que durante largos años permaneció en calidad de manuscrito. Manuscrito enriquecido en cada nueva versión del curso magistral, en el diálogo con los alumnos y en la práctica de la investigación. Mi mensaje de gratitud no podría estar completo sin el recuerdo de quien tomó a cargo la mecanografía de algunos capítulos de la primera versión. El cáncer nos privó de la presencia de Virginia Farías, pero su recuerdo vive en quienes la conocimos y en estas páginas.
1. Asociando un número a un conjunto
La teoría de la integración encuentra su base en ideas muy elementales. Usamos el término “elemental” en su acepción original, vale decir, referido a los elementos primigenios, de los cuales la matemática toda se impregna. La observación de la naturaleza llevó al hombre a descubrir los números y a asociarlos de manera natural con sus objetos más simples. De este modo el propio concepto de número llevaba en sí la idea de medir. El hombre midió longitudes, superficies, volúmenes, temperaturas, pesantez. Supo de la diferencia entre lo pequeño y lo grande, lo liviano y lo pesado.
La Geometría recogió primero esta inquietud. Euclides enseñó cómo calcular áreas de figuras simples. Luego se buscó cómo aproximar las figuras más complejas por varias simples. Fue necesario sumar. La Aritmética también se asociaba a la tarea: la suma es una forma de medición.
Asociar un número a un conjunto: es la idea fundamental que traduce en matemáticas el acto de medir. Así, si nos dan un triángulo, calculando su área, le asociamos un número; si nos dan un conjunto de números {a1,... , an} una forma de asociarle un número es considerar la suma a1 + … + an. Algunas fórmulas se hicieron célebres, por ejemplo, aquella que nos da la suma de los n primeros números naturales:
que ya se conocía en el medioevo chino, según consta en las obras de Chon Huo (siglo XI) y Yang Hui (siglo XIII).
Poco a poco se fue estudiando procesos más complejos de medición. Al llegar al siglo XVII el hombre comenzó a manejar “sumas infinitas”. Estas estaban presentes en la Filosofía desde la época de Zenón de Elea (siglo V A.C.), autor de la famosa paradoja de Aquiles y la tortuga. Según Zenón, si en el instante inicial, Aquiles se encuentra en 0 y la tortuga en una posición a0 > 0, el héroe griego debe correr tras la tortuga que avanza en el sentido positivo del eje de coordenadas, pero cuando llega a la posición a0 la tortuga se ha movido a una nueva posición a1; enseguida, cuando Aquiles llega a esta última posición, la tortuga está en a2 y así sucesivamente... En suma, mientras Aquiles corre para alcanzar el punto desde el cual la tortuga ha partido, ésta avanza, ¡de modo que nuestro héroe jamás podrá anular este avance! Para desmentir a Zenón es necesario hacer algunos cálculos. Supongamos que el movimiento es uniforme, que Aquiles se desplaza a una velocidad V = 10m/s en tanto que la tortuga lo hace según ν = 1m/s con ν < V. Llamemos tn el tiempo (medido en segundos) que Aquiles emplea en alcanzar la posición an (medida en metros). Entonces,
y aprovechando nuestros conocimientos sobre series podemos enfrentar el argumento falaz de Zenón.
La teoría de series comenzó a desarrollarse a fines del siglo XVII y principios del XVIII, sin contar con un adecuado concepto de límite. Esto fue causa de muchas paradojas. Por ejemplo, aquellas sobre la suma de la serie
Esta “suma infinita” se puede
