Teoría de la medida e integración. Rolando Rebolledo B.

      Nos preguntamos ahora qué tan extensa puede ser la clase de las funciones integrables en el sentido de Riemann. Sabemos que contiene a las funciones continuas salvo en un número finito de puntos, pero, ¿qué tanto más podemos relajar la condición de continuidad? Este problema fue planteado y resuelto por Du Bois-Reymond en 1882.

      DEFINICIÓN 1.3. Un subconjunto N de la recta real se dice de extensión nula (más tarde diremos de medida nula) si para cada > 0 existe una colección finita de intervalos cuyo largo total (calculado como la suma de las longitudes respectivas) sea menor que e y su reunión cubre a N.

      TEOREMA 1.2. Sea f una función con valores reales definida en un intervalo [a, b] de y acotada. Ella es integrable en el sentido de Riemann sobre [a, b] si y sólo si su conjunto de discontinuidades D_f es de extensión nula.

      Demostración. Designemos por ω(f, E) la oscilación de f sobre un subconjunto E de [a, b] dada por la expresión

      Observar que ω(f, E) ≤ ω(f, E′) si E ⊂ E′. Así, la oscilación de f en un punto x [a, b] es

      Claramente f es continua en x si y sólo si ω(f, x) = 0. Entonces D_f se escribe en la forma

      Comenzaremos por probar que f es integrable sobre [a, b] si y sólo si para cada p ≥ 1 el conjunto E_p = {x [a, b] : ω(f, x) > 1/p} es de extensión nula.

      Supongamos f R([a, b]). Sea (π(n))_n una sucesión de particiones de [a, b], π(n) : . Examinemos (1.24). Dado p > 1, E_p queda contenido en los intervalos de la partición π(n) en los cuales la oscilación es mayor que 1/p. Llamemos l_n(p) la suma de las longitudes de dichos intervalos. Se tiene entonces

      y la integrabilidad de f determina la convergencia a 0 de las sumas de (1.38) si n → ∞, de donde, para cada p fijo, l_n(p) → 0. Esta

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