«умение оперировать понятиями: функция, непрерывная функция, производная, определять значение функции по значению аргумента; описывать по графику поведение и свойства функции».
Уровень сложности – базовый.
Максимальный балл за выполнение задания – 1.
Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) – 7.
Чтобы решить задание 7 по математике базового уровня необходимо знать:
• что такое линейная функция и её график;
• что такое производная функции;
• геометрический смысл производной;
• как исследовать график функции.
Линейная функция (прямая) имеет вид y = kx + b, где k – угловой коэффициент, который характеризует угол, который образует прямая y = kx + b положительным направлением оси Ох. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0, то – тупой; если k = 0, то прямая параллельна оси Ох или совпадает с ней.
Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg α, где α – угол наклона касательной.
Также для удобства составим таблицу, которая будет демонстрировать зависимость коэффициента k от угла наклона прямой:
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю и если этот предел существует
Знание углового коэффициента касательной к графику функции позволяет ответить на некоторые вопросы при исследовании функции.
Значение производной функции y = f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0:
f'(x) = k.
Если производная функции y = f(x) в точке x0 равна нулю, то касательная, проведенная к графику этой функции в точке с абсциссой x0, параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Так как угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg α, то
f'(x0 ) = tg α.
Функция y = f(x) называется возрастающей на интервале (a;b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1 < x2, справедливо неравенство f(x1) < f(x2).
Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a;b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1 < x2, справедливо неравенство f(x1) > f(x2).
Точка xmax области определения функции называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) < f(xmax). Значение ymax = f(xmax) называется максимумом
