de la figura. Desarrollar una solución aproximada suponiendo que la viga AC es infinitamente rígida. Los alambres BD y CE tienen sección de área A y módulo de elasticidad E.
Figura E1.4
Solución: Equilibrio. Considérese el diagrama de cuerpo libre de la barra AC. Sean TBD y TCE las fuerzas en los alambres, que se supone están traccionados:
Es claro que las ecuaciones de equilibrio son insuficientes para resolver el problema pues hay 3 incógnitas y 2 ecuaciones.
Compatibilidad geométrica. Debido a que la barra AC es rígida:
lo anterior implica dos nuevas incógnitas y una sola ecuación adicional.
Relaciones tensión-deformación. Aplicando la ley de Hooke a ambos alambres:
Después de esta etapa se completa el número de ecuaciones necesarias (5) para igual número de incógnitas. Luego, resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen:
Ejemplo 1.5
Determinar las tensiones debidas a flexión en una sección con un plano de simetría, cargada en dicho plano.
Solución: Considérese una viga cargada en la forma indicada en la Fig. E1.5.a y una sección en el tramo central que está sometida a un momento flector constante (Fig. E1.5.b). Las seis ecuaciones de equilibrio son:
Figura E1.5
que se satisface automáticamente por la simetría respecto al plano XY, ya que el momento de σx dA en z+, es igual al momento de σx dA en z-.
Las ecuaciones relevantes son la i y la vi que corresponden a las condiciones que debe satisfacer la distribución de tensiones σx, buscada. Notar que este problema es esencialmente hiperestático, ya que se podría pensar que tiene infinitas incógnitas: el valor de σx en los infinitos puntos de la sección.
Geometría. La condición de que las secciones planas permanecen planas en la flexión permite reducir la hiperestaticidad del problema a un grado. En efecto, considerando que dos secciones vecinas sólo giran relativamente en Δθ (Fig. E1.5.c), se puede determinar la deformación unitaria de una fibra cualquiera de la sección (IJ) a distancia “y” del eje neutro:
es decir, la única incógnita del problema es la deformación representada por ρ.
Relaciones tensión - deformación. En el rango de comportamiento elástico del material se cumple:
que bajo el supuesto σy =σz = 0 implica:
luego:
que reemplazado en la Ec.i da:
de donde se concluye que la superficie neutra pasa por el centro de gravedad de la sección. A su vez, reemplazando σx en la Ec. vi se tiene:
Definiendo:
propiedad de la sección llamada momento de inercia, y sustituyendo en la expresión anterior para M, se obtiene:
y finalmente:
Similarmente al Ejemplo 1.5 se puede derivar la distribución de tensiones para el caso de flexión en vigas asimétricas sometidas a un momento en el plano YZ
Figura 1.11 Flexión en vigas con sección asimétrica
En los dos ejemplos anteriores se utilizaron las tres herramientas básicas de la mecánica estructural, que sirven para resolver cualquier problema:
• Equilibrio.
• Compatibilidad geométrica.
• Relaciones tensión - deformación.
La finalidad de los problemas era distinta. En el Ejemplo 1.4 se necesitaba calcular esfuerzos redundantes, y en el Ejemplo 1.5 se hizo un análisis de tensiones. En ambos casos se utilizó la misma metodología.
1.2.2 Relaciones Tensión-Deformación de los Materiales Estructurales
1.2.2.1 Acero Estructural
El ensayo de tracción uniaxial se realiza sobre una muestra de acero o probeta que se prepara dejando una zona central de sección A perfectamente constante mientras los extremos se ensanchan para permitir tomarla con las mordazas de la máquina que ejercerá la fuerza de tracción. La sección varía gradualmente con el propósito que así también lo hagan las tensiones de tracción, de modo que en la zona central éstas sean uniformes. A su vez, en la zona central se marcan dos líneas a distancia L conocida entre las cuales se medirá la elongación de la barra mediante deformómetro mecánico o un instrumento electrónico muy sensible llamado LVDT (Low Voltage-Displacement Transducer).
Figura
