que la distribución log-normal es frecuentemente usada para modelar distribuciones asimétricas de variables que no adoptan valores negativos, como la resistencia R por ejemplo. A su vez, cabe recordar que si una variable (R) tiene distribución logarítmico-normal, significa que el logaritmo natural de la variable (In R) es normal (Gaussiana).
Asimismo, variables que representan el máximo entre un número de observaciones tienen distribuciones de las llamadas extremas. Ciertos tipos de carga tienen estas características: por ejemplo, las cargas de viento y las sobrecargas de uso. En el caso del viento, no interesa un diagrama de frecuencias (FDP) de la velocidad del viento en todo instante o acada hora en un sitio en particular, lo que sí interesa es la velocidad máxima diaria o la velocidad máxima anual. Con la FDP de esta última variable se podrán calcular velocidades de viento asociadas a condiciones relevantes para el diseño, especificadas en términos como los siguientes: la velocidad del viento que se excede en promedio cada 50 años. En este caso, 50 años corresponde a lo que se denomina período de retorno medio, y el valor de diseño asociado “el viento de 50 años”. Este problema se puede modelar con una distribución extrema Tipo II (ver Benjamin y Cornell, 1970).
(*) para área tributaria de 36 m2
Igualmente, en relación con las sobrecargas (o cargas vivas) que se superpondrán a las cargas permanentes (o cargas muertas) que actúan sobre una estructura, interesará la intensidad máxima de la carga durante la vida útil de la estructura o típicamente un período de referencia de 50 años. Las sobrecargas de piso comprenden las cargas sostenidas de ocupación normal (como mobiliario, equipos y personas) y las cargas extraordinarias de corta duración (como la congregación de personas durante una fiesta, o la acumulación de muebles durante una remodelación). En el caso de edificios, las normas especifican sobrecargas de piso uniformemente distribuidas que se supone representan el efecto de cargas concentradas y distribuidas reales que, por cierto, pueden ocurrir en infinitas formas en cuanto a su distribución espacial. Las sobrecargas de diseño especificadas en los códigos pueden reducirse para determinar las cargas sobre elementos afectos a áreas tributarias muy grandes (ver Sección 1.1.5.a). La Tabla 1.1 muestra valores especificados en las normas chilena (NCh1537.Of86), mexicana (RDF-76), y norteamericana (ANSI A58.1, 1981). Como referencia puede indicarse que las cargas dadas por esta última norma conducen a cargas vivas ligeramente inferiors al valor medio de la carga viva máxima en 50 años.
En el caso de los materiales, las resistencias nominales o características son tales que una mínima fracción de la producción no cumple con el valor especificado. Considérese por ejemplo el hormigón, cuya resistencia se mide mediante ensayos de compresión realizados sobre probetas cúbicas o cilíndricas de 28 días de edad, curadas en ambiente húmedo. En particular, el código ACI 318-95 considera probetas cilíndricas de 6x12 pulgadas (diámetro x alto), cuya resistencia de compresión de diseño se especifica como fc’. Esta resistencia es menor que la resistencia promedio del concreto producido fcr’, como se aprecia en la Fig. 1.3. En efecto, el ACI requiere que el fcr’ sea el mayor de los valores dados por las ecuaciones:
con σ igual a la desviación de la producción de acuerdo a lo especificado en el código. La Ec. 1-6, como la interpreta el código ACI, da el menor valor promedio fcr’ tal que, asumiendo distribución normal, asegure una probabilidad de 99 en 100 que la resistencia promedio de tres ensayos consecutivos exceda fc’. Otra forma de interpretar esta ecuación es, como ilustra la Fig. 1.3, que fc’ corresponde al percentil 9, i.e. la probabilidad de que la resistencia del hormigón sea menor que fc’ es de un 9%. A su vez, la Ec. 1-7 corresponde a asegurar que la resistencia de un ensayo cualquiera tiene una probabilidad de 1 en 100 de ser menor que (fc’ - 35).
Figura 1.3 Distribución de resistencias de compresión del hormigón
En el caso del acero rigen varias normas, tanto para el caso de barras de refuerzo a utilizarse en hormigón armado como para planchas utilizadas para producir perfiles metálicos. Típicamente, la resistencia de interés es la correspondiente al punto de fluencia, encontrándose en general que la probabilidad de que la tensión de fluencia sea menor que la nominal especificada por el fabricante es del orden de 3 a 5 %.
Volviendo al problema de confiabilidad estructural hay que aclarar que al referirse a la resistencia R de un elemento se piensa no sólo en la capacidad del material que lo constituye, sino en el conjunto de variables que intervienen en la resistencia, en efecto:
en que las ri son todas variables aleatorias que representan las propiedades mecánicas, los parámetros que pueden afectar dichas propiedades, las propiedades geométricas del elemento y su sección, las condiciones de vinculación del elemento, etc. A su vez, el modelo no sólo debe incluir la incertidumbre implícita en la aleatoreidad de las variables r; sino también aquella asociada con la relación funcional g, es decir, con la imperfección del modelo analítico utilizado para predecir la resistencia R, y el posible sesgo asociado a la calidad de construcción según la práctica usual y el grado de inspección a nivel local o nacional.
Del mismo modo, la solicitación S no corresponde simplemente a un valor especificado de carga, como aquellos en la Tabla 1.1, sino a un efecto, por ejemplo, “al momento flector máximo en una viga”, que depende de la carga de peso propio, de la intensidad de la sobrecarga, del área en que actúa la carga y tributa sobre la viga, del largo de la viga, etc, es decir, de un conjunto de variables aleatorias Si, tal que:
Supóngase que se desea evaluar la seguridad de un diseño. Para ello se considerará primero la formulación conocida como margen de seguridad, en que el margen Z se define como:
La confiabilidad, o medida de seguridad, puede cuantificarse en términos de la probabilidad:
mientras que la probabilidad de falla corresponde a:
Si la FDP de Z es conocida, la probabilidad de falla según la Ec. 1-1 es simplemente:
Suponiendo que R y S son variables aleatorias estadísticamente independientes y normalmente distribuidas, con medias μR y μS y desviaciones estándar σy σS respectivamente, es fácil demostrar que Z=R-S es también gaussiana con media:
y varianza:
Siendo Z normal, su FDP es:
En
