como N(μz,σz). La integración definida por la Ec. 1-13 para el cálculo de la probabilidad de falla puede realizarse directamente; sin embargo, es usual realizar un cambio de variable para utilizar las tablas disponibles para la FDA Φ (x) de la distribución normal estandarizada a media nula y desviación estándar unitaria, es decir, la distribución N(0,1);
Entonces, haciendo x = (z-μz,)/σz, y dz = σz dx la distribución de la Ec. 1-16 se estandariza a la N(0,1) dada por la Ec. 1-17. Por lo tanto, la integral de la Ec. 1-13 es:
que por la simetría de la distribución N(0,1) puede escribirse como:
Finalmente, en virtud de las Ecs. 1-14 y 1-15:
en que los valores de Φ se presentan en la Tabla P.1 del Anexo P. La Ec. 1-21 ilustra el importante hecho que la seguridad no sólo depende del margen entre Ry S, representado por sus valores medios, sino también de la dispersión o incertidumbre respecto del valor de tales variables. Este hecho se ilustra esquemáticamente en la Fig. 1.4, donde las líneas continuas representan funciones de distribución hipotéticas de R y S y las líneas de guiones distribuciones tales que los valores medios se han mantenido, pero las desviaciones estándar se han duplicado. El efecto es que ha aumentado el área traslapada entre ambas curvas, lo que refleja un aumento de la probabilidad de falla. Notar, sin embargo, que PF no corresponde al área traslapada, pero si tal área crece, PF también crece.
Figura 1.4 Distribuciones esquemáticas de la resistencia Ry la solicitacións
Alternativamente la confiabilidad puede evaluarse mediante una formulación basada en el cuociente R/S, la que se asocia al concepto de factor de seguridad. En este caso es común asumir que Ry S son variables aleatorias independientes, con distribución log-normal. Cabe recordar que si una variable aleatoria X es lognormal, inX es normal, por tanto la FDP de X es:
donde λ = E(InX) y ξ2= Var(InX) son los parámetros de la distribución y corresponden respectivamente a la media y a la varianza de In X. Estos parámetros se relacionan con la media μ= E(X) y la varianza σ2 = Var(X) a través de las relaciones (Ang y Tang, 1975):
Si el coeficiente de variación Ω = σ /μ es pequeño, ξ ≈ Ω
Refiriendo la seguridad en términos de la variable aleatoria Z tal que:
variable que tiene distribución normal pues Ry S se asumieron log-normales, el estado de falla se asocia a la condición (R-S) ≤ 0, es decir Z ≤ 0, y la probabilidad de falla queda igualmente expresada por las Ecs. 1-12 y 1-19.
De las Ecs. 1-25 y 1-23 se tiene que la media de Z es:
y su varianza:
Luego, la probabilidad de falla según la Ec. 1-19 es:
Si ΩR y Ωs son pequeños (≤ 0,3), la raíz del numerador en la ecuación anterior puede aproximarse a 1, y el denominador a (ΩR2 + ΩS2)1/2, de modo que:
Al cuociente μR/ μS se le denomina usualmente factor de seguridad central, mientras que Ω = (ΩR2 + ΩS2)1/2 corresponde a la incertidumbre total subyacente al diseño.
Para tener una idea del significado de los valores de las probabilidades de falla, puede considerarse que pF> 10-3 revela una situación de alto riesgo, posiblemente inaceptable, mientras que pF < 10-5 refleja una condición de bajo riesgo. Cabe notar también que para valores pequeños de la probabilidad de falla, ésta es muy sensible a la distribución considerada para la variable Z, lo que puede exigir utilizar la correcta FDP de Z para una determinación realista del riesgo. Sin embargo, aun cuando se use una distribución aproximada, las probabilidades de falla calculadas son aún útiles como medidas relativas de la seguridad. Valores grandes de PF, en cambio, no varían sustancialmente al cambiar la FDP de Z; sin embargo, en este caso se requiere una acción inmediata para reducir el riesgo. Para poner los valores de las probabilidades de falla en la perspectiva de otras situaciones de riesgo, la Tabla 1.2 muestra las tasas anuales de muerte en varias actividades.
Ejemplo 1.1
Sea una columna sometida a una carga axial de 40 toneladas correspondiente al peso propio de la estructura que soporta, con coeficiente de variación estimado en un 10 %, más una sobrecarga de 60 toneladas con coeficiente de variación estimado en un 25%. La columna se ha diseñado de manera que su resistencia última de compresión es el triple de la carga de servicio total. Asumiendo que el coeficiente de variación de la resistencia es de un 15 %, y que todas las variables son gaussianas y estadísticamente independientes, calcular la probabilidad de colapso de la columna utilizando la formulación conocida por margen de seguridad.
Solución: La carga total S = PP + SC es también gaussiana porque PP y SC lo son, por lo tanto:
La resistencia última nominal es μR = 300 toneladas con σR = (0,15)(300) = 45 toneladas como desviación estándar. La probabilidad de falla según la Ec. 1-21 es:
Ejemplo 1.2
Una viga de acero simplemente apoyada de 9 metros de luz (perfil IN 35x53) soporta una carga uniformemente distribuida de intensidad media
