Det er forkert at sige, at skildpadden til et givet tidspunkt befinder sig i et bestemt punkt, men derimod rigtigt at sige, at den til et givet uendeligt lille tidsinterval bevæger sig igennem et uendeligt lille længdeinterval. Og hermed opløses forudsætningerne for Zenons argumentation.
Udformningen af den formelle logik. Den megen debat og uenighed i græsk filosofi måtte naturligt nok vække til eftertanke, hvad angår menneskets mulighed for at opnå sikker erkendelse. Og hos nogle tænkere er der en tilbøjelighed til at mene, at man ikke kan vide noget med absolut sikkerhed. De kendteste er Gorgias (ca. 490-390 f.Kr.) og Protagoras (født ca. 510 f.Kr.). Sidstnævnte er kendt for to meget ofte citerede sætninger: “Den samme vind kan være kold for én person og varm for en anden” og “Mennesket er alle tings målestok. Det værende for, hvad det er, og det ikke værende for, hvad det ikke er.” Meningen er formentlig, at meget af vor erkendelse er subjektiv og derfor ikke absolut sand. En sådan anskuelse kaldes for relativisme. Den er vanskelig at udforme, uden at man ender i skepticisme: Vi ved intet med sikkerhed om noget som helst.
Aristoteles var en af de store tænkere, og han skrev værker om snart sagt alle emner. Hans skrifter om logik har haft blivende værdi. Aristoteles’ udgangspunkt var her en slags analyse af den menneskelige bevidsthed. Vi har alle – når vi ser ind i os selv – følelser og følelsesholdninger, og de fleste af os har forestillingsbilleder: Jeg kan “se noget for mit indre blik”, når jeg erindrer en eller anden begivenhed. Men vi har også tankeforløb, påstande, argumenter, konklusioner m.m., der i en vis udstrækning kan formuleres sprogligt og skrives ned. Aristoteles rettede nu blikket mod de mest elementære tankefunktioner og fandt, at de måtte bestå i, at man fra to påstande undertiden kunne udlede en tredje, der, hvad enten de to påstande var sande eller falske, måtte være lige så holdbar som dem.
I den aristoteliske logik, som efter universiteternes grundlæggelse i Vesteuropa i slutningen af 1100-tallet blev grundlaget for al debat, skelner man mellem (1) kategoriske domme, der udtrykker, at noget fastslås som tilfældet, (2) hypotetiske domme, der indledes med et “hvis” (“Hvis det regner, bliver gaden våd”) og (3) disjunktive domme (“Enten regner det, eller også skinner solen”).
Aristoteles undersøgte derpå de kategoriske syllogismer, dvs. slutninger fra to kategoriske domme eller udsagn til eventuelle konklusioner. Der findes i alt fire typer, som der her gives nogle eksempler på:
a-domme, som udsiger, at Alle A er B.
f.eks. “Alle mennesker er dødelige”, “Alle flagermus er pattedyr”, “Alle fugle har vinger”.
i-domme, som udsiger, at Nogle A er B.
f.eks. “Nogle sygdomme er smitsomme”, “Nogle danskere taler engelsk”, “Nogle mennesker bliver 100 år gamle”.
e-domme, som udsiger, at Alle A er ikke B.
f.eks. “Ingen heste er drøvtyggere”, “Ingen køer kan flyve”, “Ingen kvadrater er sekskantede”.
o-domme, som udsiger, at Nogle A er ikke B.
“Nogle sygdomme er ikke smitsomme”, “Nogle danskere taler ikke engelsk”, “Nogle mennesker bliver ikke 100 år gamle”.
Betegnelserne for de fire typer domme stammer fra de to første vokaler i de to latinske ord affirmo (“jeg bekræfter”) og nego (“jeg benægter”). Alle sådanne domme kaldes subjekt-prædikat-domme, fordi der i dem er et prædikat – f.eks. “smitsom” – der udsiges om et subjekt, også kaldet det logiske subjekt f.eks. “sygdom”.
Hvis vi nu betragter en slutning fra to præmisser til en konklusion som f.eks.:
1 Alle mennesker er dødelige.
2 Alle danskere er mennesker.
Konklusion: Alle danskere er dødelige.
Så ser vi, at der indgår tre begreber: “menneske”, “dødelig” og “dansker”. Vi kalder “menneske” for subjekt, og “dødelig” for prædikat i 1. præmis, og “danske” for subjekt og “mennesker” for prædikat i 2. præmis. For at man kan nå fra præmisserne til en konklusion, skal der være et begreb (“menneske”), som er fælles for dem. Dette begreb kalder man mellembegrebet. Aristoteles satte system i de mulige kategoriske syllogismer og nåede frem til, at kun 19 af disse kunne være gyldige slutninger. Eksempel på en ugyldig slutning kunne være:
1 Ingen danskere taler japansk.
2 Ingen nordmænd er danskere.
Konklusion: Alle nordmænd taler japansk.
Aristoteles opstillede ud fra sine undersøgelser slutningsregler for de kategoriske syllogismer, hvoraf jeg her blot nævner nogle:
1 Enhver syllogisme skal indeholde tre og kun tre begreber.
2 Enhver syllogisme skal indeholde tre og kun tre domme.
3 Begreberne må ikke være tvetydige.
4 Der kan ikke drages nogen konklusion ud fra to benægtende præmisser (altså e- og o-domme).
5 Der kan ikke drages nogen konklusion ud fra to delvise præmisser (altså to i-domme).
Det vigtige her er ikke at gøre rede for hele den aristoteliske logik – det ville fylde mange sider – men at gøre opmærksom på, at man allerede i den græske filosofi er ude efter, hvad der må stå fast, hvad der er sikker erkendelse. Aristoteles var imod relativisme og skepticisme og Protagoras’ fejlagtige argumentation. Aristoteles byggede ikke alene på sin egen intuition, men på, at enhver ved nærmere eftertanke kan se, hvad der er en korrekt slutning.
Figur 6: Hvor stor er jorden?
Allerede ca. 200 år f.Kr. målte grækeren Eratosthenes jordens størrelse. Han havde observeret, at der i en brønd i Syene (ved det nuværende Assuan) om middagen ved sommersolhverv ikke kastedes skygge i brønden. Det følgende år, på samme dato og tid, satte Eratosthenes en pind i jorden i Alexandria og målte skyggelængden og dermed skyggevinklen. Han antog, at afstanden fra jorden til solen var så stor, at solens stråler kunne anses for at være parallelle. Det betyder, at den skrå skyggelinje i Alexandria må være parallel med det sollys, som går lodret ned i brønde i Syene. Da han nu tillige vidste, at jorden er rund, og at Alexandria og Syene ligger på nogenlunde samme længdegrad, kunne han slutte, at vinklerne a og b (se figuren) er lige store. Han målte vinkel a til at være 7
Figur 7a og b: Afstand til sol og måne
Aristarch fra Samos (310-230 f.Kr.) målte afstandene fra jorden til månen og solen.
Hvis man sigter mod månen fra to steder på jorden,
