står altså for tallet 1, P2 for tallet 2, P3 for tallet 3, P4 for tallet 5, P5 for tallet 7 osv. op til Pn, som står for det største/ukendte primtal). Euklid antager altså, at der er et bestemt antal primtal, nemlig n. Vi kan nu gange alle primtallene med hinanden:
P1 × P2 × P3 × P4 × P5 × …. × Pn.
Vi får så et tal – hvad det nu end bliver. Til dette tal lægger vi nu 1, så at vi får:
(A) P1 × P2 × P3 × P4 × P5 × …. × Pn + 1.
Om dette tal må det gælde, at det enten er et primtal eller ikke er et primtal. Vi prøver begge muligheder.
(1) Vi antager, at (A) er et primtal. Men denne antagelse fører os ind i en modsigelse, for vi begyndte jo med at antage, at Pn var det største primtal, og (A) er jo større end Pn.
(2) Vi antager, at (A) ikke er et primtal. Men hvis dette er tilfældet, så skulle (A) jo kunne dannes som et produkt af alle de kendte primtal. Men det kan (A) jo ikke, for opløser man (A) i alle de primtal, som er brugt til at producere (A), bliver der 1 til rest. Så hvis (A) ikke er et primtal, må der være et primtal udover primtallene fra P1 til Pn, som går op i det. Og så er der et primtal, der er større end Pn. Men også denne konklusion er i modstrid med den antagelse, som vi gik ud fra: At der er et bestemt (endeligt) antal primtal, nemlig n.
Eftersom der ikke findes andre muligheder end (1) og (2), så må den oprindelige antagelse, at der findes et endeligt antal primtal være forkert. Altså er antallet af primtal uendeligt. Uanset, hvor stort det fundne er, vil man altid kunne finde ét, som er endnu større.
Man kommer næppe uden om, at Euklids bevis for, at der ikke findes et største primtal, må ses som et lysende eksempel på det, man lidt romantisk kan kalde for “tankens magt”. Talrækken er uendelig, og går man rent empirisk til værks, ser man, at der bliver længere og længere mellem primtallene, jo længere man når frem i talrækken. Så kunne det ikke tænkes, at hvis man nåede frem til ikke blot tallet en milliard, men langt længere frem til et tal, der har en milliard cifre, og som vi aldrig nogensinde ville kunne tænke os frem til inden for et menneskeliv, om så vi kunne tælle tusind tal i sekundet – kunne det ikke tænkes, at der i alt, hvad der fulgte efter, aldrig ville optræde et primtal, ligegyldig hvor langt man bevægede sig ud i det uendelige? Svaret er nej. Euklid var i stand til at bevise noget om det ukendte, om noget uendeligt, en præstation, der givetvis har inspireret tænkere som Anselm, Thomas Aquinas og Descartes til at forsøge alene ved tænkning at bevise Guds eksistens.
Forskning for forskningens egen skyld. Karakteristisk for den græske filosofi og den gryende naturvidenskab fra år 500 f.Kr. og fremefter var, at de mange tænkere ikke overvejede, om forskningen kunne føre til resultater, der lod sig udnytte teknisk. De var alene koncentreret om at finde ud af, hvordan verden, den givne virkelighed, var beskaffen. Deres spørgsmål var dybtgående og ledte dem ud i problemer, som ingen før havde tænkt over. Ét angik spørgsmålet om, hvordan forandring overhovedet er mulig. Hvordan kan et agern blive til et egetræ? Hvordan går det til, at vi kan smelte is til vand? Hvordan kan et barn blive til et voksent menneske? Hvad er det, der forandrer sig, når dejligt solskinsvejr afløses af skyer, regn og lyn og torden? Er der noget, der er uforanderligt, f.eks. granit? Hvorfor forandrer noget sig hurtigt og andet sig uendelig langsomt?
Heraklit fra Efesos (ca. 550-480 f.Kr.) hævdede, at alt er i stadig forandring, selv i det mindste tænkelige øjeblik. “Man kan ikke bade to gange i den samme flod”, sagde han – for floden er jo i uafbrudt forandring hele tiden. Og – kunne han have tilføjet – det er ethvert menneske, der vil bade i floden, også.
Parmenides fra Elea (født ca. 510 f.Kr.) hævdede det stik modsatte. Forandring finder overhovedet ikke sted. De nærmere begrundelser for dette synspunkt – og også for Heraklits – kender vi ikke, og de overleverede tekststumper og citater kan fortolkes på flere måder. Heraklit synes at have ment, at der ikke findes springvise forandringer, men kun kontinuerte, og af den grund må forandringerne foregå hele tiden. Parmenides synes at have ment, at vi ikke ville kunne navngive noget, medmindre det har en identitet – og at vi nok oplever, at tingene forandrer sig, men at sådanne oplevelser i det hele taget er et stort bedrag: at livet i en vis forstand kan sammenlignes med en drøm – en idé, som han muligvis har fået fra indisk filosofi.
Men karakteristisk for grækerne er, at de ikke stopper op ved disse generaliserende opfattelser, men søger at uddybe dem gennem argumentation for og imod. Leukippos (omkring 500 f.Kr.) og Demokrit (ca. 460-370 f.Kr.) fremsætter en atomteori, der i al sin enkelhed går ud på, at alt er sammensat af bittesmå, uforanderlige, udelelige partikler (atomos = udelelig), som er så små, at de hverken kan ses eller føles, og at al forandring består i, at disse atomer, som har forskellige former, så at sige “ommøbleres”. Det forklarer jo mange ting, f.eks. at is kan smelte til vand, og at man kan lave bronze ved at smelte tin sammen med kobber.
Platon (427-347 f.Kr.) fremsætter en anden løsning, der sandsynligvis er inspireret af debatten mellem Heraklit og Parmenides, men som også bygger på en løbende debat om forholdet mellem geometri og virkelighed. Han skelner mellem en evig, uforanderlig idéverden på den ene side, og sanseverdenen, som er i stadig forandring, på den anden. Idéverdenen rummer alle begreber, men er kun tilgængelig for vores tænkning. Kort fortalt med et eksempel: Der findes heste i sanseverdenen, den verden, vi erkender med vore sanser, og der er ikke to heste, der er ens. De er forskellige i størrelse, behåring osv. og er individuelt eksisterende. Men de falder alle ind under begrebet hest, som vi tankemæssigt kan erkende. Og i og med, at vi kan erkende begrebet (en hest har hove, manke, særlig tandsætning osv.) og tale om det, må det eksistere. Og da det jo ikke kan eksistere i sanseverdenen – man kan jo ikke se et begreb eller flytte et begreb fra et sted til et andet – så må det eksistere i en hinsidig idéverden, som vi tankemæssigt er i kontakt med.
Umiddelbart har Platon jo ret i, at vi kan tænke meget, som hverken kan sanses eller tegnes, f.eks. at to rette linjer, der skærer hinanden, skærer hinanden i et og kun et punkt. Tænk på Euklids definitioner: Et punkt er det, som ikke kan deles, og en linje er en længde uden bredde. Man kan jo hverken tegne et udeleligt punkt eller en linje uden bredde. Men man kan udmærket gøre sådanne begreber til genstand for en tankemæssig behandling. Platon tager fejl, når han mener, at enhver sand sætning må handle om noget eksisterende, og derfor konkluderer, at der f.eks. må være et af ham og os alle uafhængigt eksisterende noget, som svarer til begrebet om et punkt uden udstrækning.
En udløber af striden mellem Heraklit og Parmenides er de berømte paradokser, som blev fremsat af Zenon (ca. 490-430 f.Kr.) – muligvis for at vise, at al forandring er en illusion. Det kendteste er det tænkte kapløb mellem Akilleus – ifølge overleveringen den hurtigste løber i Grækernes land – og en skildpadde.
Figur 5: Akilleus og skildpadden
Da en skildpadde er en langsom løber, giver vi den et vist forspring. Akilleus starter ved A, og samtidig starter skildpadden ved B. Ræsonnementet er nu følgende: Når Akilleus når hen til B, er der forløbet en vis tid, og i dette tidsrum har skildpadden bevæget sig hen til C. Men når Akilleus er nået fra B til C, er der igen forløbet en vis tid, og i dette tidsrum er skildpadden nået fra C til D. Igen tager det tid for Akilleus at nå fra C til D … og sådan kan vi fortsætte ræsonnementet i det uendelige. Konklusionen må være, at Akilleus kommer nærmere og nærmere til skildpadden, men at han aldrig kan komme op på siden af den og altså dermed ikke passere den.
Zenons
