Vi kommer derfor ikke uden om at lave en kort præsentation af Diracs formalisme. Symbolet ∣ 〉 omkring et bogstav angiver, at bogstavet er navnet på en vektor, så at ∣A〉 står for en vektor kaldet A. En samling vektorer udgør basis for et vektorrum, og dets dimension er defineret af det antal vektorer, som siges at være ortogonale, dvs. som står vinkelret på hinanden. Med andre ord er antallet af basisvektorer ∣A1〉, ∣A2〉, …, ∣AN〉 lig med et N-dimensionalt vektorrum, hvis, og kun hvis, enhver værdi for i og j fra 1 til N er sådan, at når i ≠ j, er 〈Ai∣Aj〉 = o. Det er også tilfældet, at enhver vektor i et sådant N-dimensionalt vektorrum kan beskrives af N generelt komplekse tal. I kvantemekanikken repræsenterer vektorer fysiske tilstande, fysisk mulige situationer, og disse vektorer kaldes derfor for tilstandsvektorer. Det betyder, at ethvert fysisk system kan forbindes med et eller andet vektorrum, hvor alle dets mulige tilstande, dvs. alle mulige værdier af de forskellige størrelser, som er defineret for systemet, modsvares af en eller anden basisvektor i dette vektorrum.
Foruden vektorer indeholder formalismen også operatorer, en anden slags matematiske entiteter, som transformerer en vektor til en ny. En operator, der fungerer på et vektorrum, fastsætter en bestemt forskrift for, hvordan et vektorrum kan afbildes ind i sig selv: For enhver vektor ∣B〉 i vektorrummet, hvorpå O fungerer som en operator, er O∣B〉 = ∣B’〉, hvor ∣B’〉er en anden vektor i det samme vektorrum. En gruppe operatorer, kaldet lineære operatorer, er specielt interessante for kvantemekanikken. Disse operatorer på et N-dimensionalt vektorrum kan repræsenteres af N2-tal, eller rettere kan beskrives ved hjælp af N2-tal i en matrix ud fra følgende regel: Oij = 〈 Ai∣O∣Aj〉. En vektor ∣B〉 siges at være O’s egenvektor med egenværdien a, hvis ∣B〉 ≠ o og O∣B〉 = a∣B〉, dvs. en vektor ∣B〉 er O’s egenvektor, hvis O ikke ændrer retningen af ∣B〉, men kun længden med beløbet a. En bestemt type lineære operatorer, såkaldte hermitiske operatorer, som bl.a. har den egenskab, at egenværdierne altid er reelle tal (som man jo måler i laboratoriet), antages i kvantemekanikken at udtrykke målbare dynamiske egenskaber, de såkaldte observable, idet de betragtes som operatorer på vektorrummet, der associeres med systemet. De fysiske tilstande og observablerne er således forbundet på følgende måde: Hvis en vektor, der repræsenterer en bestemt fysisk tilstand, er en operators egenvektor, som er knyttet til en bestemt målbar egenskab ved systemet, og den har egenværdien a, så siges systemet at være i en egentilstand for den pågældende operator og at have egenværdien a for den pågældende observabel. Det skal måske også nævnes, at enhver hermitisk operator fastlægger en bestemt mængde af egentilstande og dermed også et bestemt såkaldt spektrum af egenværdier. Dette spektrum, som kan være diskret eller kontinuert, repræsenterer de mulige værdier for en måling af den pågældende fysiske størrelse.
Til sidst skal nævnes, at to operatorer P og Q på et Hilbertrum siges at kommutere, hvis deres produkt er uafhængigt af rækkefølgen, altså hvis PQ – QP = 0. Omvendt siges operatorerne at være ikke-kommuterende, hvis PQ – QP ≠ 0, dvs. produktets rækkefølge har betydning for resultatet. Sidstnævnte regel gør sig gældende for observablerne i kvantemekanikken, hvorimod fysiske størrelser i den klassiske fysik repræsenteres ved funktioner, dvs. almindelige tal, som altid kommuterer.
Det er vigtigt at holde sig for øje, at en matematisk teori kræver en fysisk fortolkning for at kunne gives en fysisk mening. En fysiker skal altid være påpasselig med at sige noget generelt om verdens indretning alene ud fra de strukturelle egenskaber ved en matematisk formalisme. Vi må skelne mellem kvantemekanikkens matematiske udformning og dens fysiske fortolkning. Mange moderne fortolkninger forsøger ikke desto mindre at sige noget grundlæggende om atomernes verden ud fra kvanteformalismens beskaffenhed. Det afgørende stridspunkt er således, om man kan opstille nogle almene kriterier for, hvornår en fortolkning kan siges at være fysisk meningsfuld, og hvornår den ikke kan siges at være det. Det er her, striden mellem de forskellige kvantemekaniske fortolkninger står.
HEISENBERGS USIKKERHEDSRELATIONER
Kært barn har mange navne, men det er ikke altid ligegyldigt, hvilket navn man bruger. Det skal vi snart sande, når vi taler om Heisenbergs usikkerheds- eller ubestemthedsrelationer. Efter at have arbejdet videre med matrixmekanikken var Born i stand til at udlede en sætning, som så nogenlunde sådan ud: PQ – QP = ih/2π. Her angiver Q matricen for sted, P er matricen for impulsen, og h er Plancks konstant. Vi genkender formen på udtrykket for ikke-kommuterende operatorer. Den mest frapperende egenskab ved matrixmekanikken var altså, at de matematiske repræsentationer af sted og impuls ikke kommuterer, dvs. rækkefølgen af deres produkt er ikke uden betydning for resultatet, hvilket den ellers er i den klassiske fysik. Vi kender kommutation fra skolen under den matematiske sætning om, at faktorernes orden er ligegyldig. Men hvordan bruddet med denne matematiske egenskab skulle udlægges fysisk, var på det tidspunkt uklart. Det blev først klart, da Heisenberg opdagede, at dette træk ved den matematiske formalisme implicerede usikkerhedsrelationen for sted og impuls. Den kan skrives ΔxΔp ≥ h/2π, hvor Δx og Δp betegner spredningen i værdien for henholdsvis x og p. Udtrykket siger altså, at der består en grænse for den præcision, hvormed man på samme tidspunkt kan bestemme både elektronens sted og impuls.
Ifølge Heisenbergs tolkning af usikkerhedsrelationen kan atomare objekter ikke samtidig tildeles en eksakt position og en eksakt impuls, som man ellers skulle have forventet ud fra den klassiske mekanik. Jo mere præcist den ene angives, desto mere upræcis må ens viden om den anden være. Et lignende forhold gælder for andre fysiske størrelser som energi og tid, x, y og z-komponenterne for spin osv. Det er således muligt at vise, at det kun er kommuterende variable, der samtidigt kan gives en præcis specifikation. Angives variablerne derimod af to hermitiske operatorer, som ikke kommuterer, kan de ikke begge samtidigt tilskrives en skarp værdi. Et sådant træk ved formalismen strider helt mod den klassiske fysik, som ikke sætter nogen begrænsning for den præcision, hvorved man på en gang kan fastlægge værdien af de tilsvarende klassiske variable. Forholdet mellem sådanne ikke-kommuterende variable er angivet ved Heisenbergs generaliserede ubestemtheds- eller usikkerhedsrelation.
Til støtte for sin fortolkning opstillede Heisenberg et tankeeksperiment, der drejede sig om at iagttage en elektron ved hjælp af et tænkt gammastrålings-mikroskop. [Fig. 3]. For at kunne observere elektronen, må man bombardere den med fotoner. Disse fotoner må have en bølgelængde, der enten er af omtrent samme størrelse som elektronens eller endnu kortere, såfremt vi skal opnå præcist kendskab til dens position. Imidlertid er bølgelængden omvendt proportional med impulsen. Fotoner med kort bølgelængde er også fotoner med stor impuls. Så noget af denne impuls vil blive overført til elektronen, og den vil reagere ved at forandre sin impuls. Prøver man på den anden side at undgå at påvirke elektronens impuls ved at bruge fotoner med en meget lille impuls, vil de sidstnævntes bølgelængde øges drastisk, og de vil ikke længere kunne give information om elektronens position. På den måde argumenterede Heisenberg for, at hver gang vi har præcis viden om, hvor elektronen er, kan vi ikke samtidig gøre os håb om at opnå præcis viden om dens hastighed. Ligesom det modsatte er tilfældet.
Hvad udtrykker Heisenbergs relation så? Man kan sige det på følgende måde: 1) Mener man, at relationen er udtryk for ens, om end principielle, uvidenhed om elektronens nøjagtige position eller nøjagtige impuls, så synes det rimeligt at kalde den for usikkerhedsrelationen; men 2) mener man, at relationen udtrykker fraværet af en objektiv værdi hos disse observabler, så forekommer betegnelsen ubestemthedsrelationen at være bedst. Heisenbergs analyse af gammastrålingsmikroskopet kunne så tvivl om, hvorvidt han egentlig mente det ene eller det andet. For det meste taler han i sin nu klassiske artikel om manglende præcision.16 Alligevel må man sige, at Heisenberg argumenterer rent epistemisk: Der er tale om målepræcision. Han taler om restriktioner på vort kendskab til de dynamiske størrelser på grund af uundgåelige måleforstyrrelser. Og til sidst afviser han den indvending, at der bag målingerne kunne være en deterministisk virkelighed, der
