stetig auf der Menge, falls an jeder Stelle stetig ist.
Differenzierbarkeit und Kurvendiskussion
Die Frage nach dem Änderungsverhalten einer Funktion führt über eine weitere Grenzwertbetrachtung zum Begriff der Differenzierbarkeit. Ist eine auf einem Intervall definierte Funktion, dann nennt man den Quotienten
den Differenzenquotienten vonan der Stelle. Er beschreibt die Änderung der Funktionswerte in Abhängigkeit von der Änderung der Argumente und entspricht anschaulich der Steigung einer Geraden durch die beiden Punkte und . Der Grenzwert des Differenzenquotienten für entspricht dann der Tangentensteigung an die Funktion im Punkt , das heißt: der Ableitung.
Die Funktion heißt an der Stelledifferenzierbar, falls für gegen der Grenzwert des Differenzenquotienten
eigentlich existiert, das heißt nicht ist.
In diesem Fall wird der Grenzwert mit bezeichnet und heißt die Ableitung der Funktionan der Stelle.
Eine häufig verwendete Schreibweise für ist der Differentialquotient:
Nicht alle Funktionen besitzen an jeder beliebigen Stelle eine Ableitung, manche Funktionen sind sogar nirgends differenzierbar. Andere Funktionen sind dagegen auf ihrem ganzen Definitionsbereich differenzierbar und definieren damit eine weitere Funktion.
Eine Funktion heißt auf differenzierbar, falls an jeder Stelle differenzierbar ist. Die Funktion mit
heißt Ableitung der Funktion.
Die Ableitung einer Funktion hat eine anschauliche geometrische Bedeutung: Betrachten Sie die in Abbildung 1.4 dargestellte Gerade durch die beiden Punkte und .
stetig auf der Menge 
