unterhalb des Graphen einer gegebenen Funktion. Diese Sichtweise liegt der Integraldefinition als Grenzwert Riemannscher Summen zugrunde.
ist eine Summe
mit Zwischenpunkten
Eine Riemannsche Summe ist also nichts anderes als eine Näherung an die Fläche unter dem Graphen von
Abbildung 1.5: Approximation der Fläche
Falls alle möglichen Riemannschen Summen für immer kleinere Feinheiten der zugrunde liegenden Zerlegung gegen ein und denselben festen Wert konvergieren, dann erhalten Sie damit das Integral der Funktion
Konvergieren für alle Folgen von Zerlegungen
Überraschend ist der Zusammenhang zwischen der Differentialrechnung und der zunächst rein geometrisch definierten Integralrechnung. Sie erhalten mit der Flächenberechnung gleichzeitig eine Umkehrung der Differentiation.
Diese Tatsache heißt in der reellen Analysis der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Für jede auf einem Intervall
Existenz von Stammfunktionen: Die Funktionmit ist eine Stammfunktion zu auf .
Eindeutigkeit: Jede andere Stammfunktion zu hat die Form mit einer Konstanten .
Integralberechnung: Ist eine beliebige Stammfunktion zu , so gilt für :
Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung haben Sie also eine Methode, um entweder Flächen unterhalb des Graphen einer gegebenen Funktion
