die Grenzwertdefinition des Integrals direkt zu verwenden, werden Sie üblicherweise zur Integration einer gegebenen Funktion Die partielle Integration wird aus der Produktregel der Differentiation abgeleitet.
Bei der Substitution hilft die Kettenregel der Differentiation. Für die bestimmte Integration, die Flächenberechnung, müssen Sie dabei auch die Grenzen der Integrale beachten.
Eine zweite Form der Substitutionsregel ist ebenfalls oft nützlich.
Es sei
Hat
Kapitel 2
Grundlagen der Differentialrechnung im
IN DIESEM KAPITEL
Funktionen mehrerer Variabler betrachten
Was Stetigkeit im Mehrdimensionalen bedeutet
Mehrdimensionale Funktionen ableiten
Höhere Ableitungen für Funktionen mehrerer Variablen bestimmen
Die mathematische Beschreibung der realen Welt ist eine wichtige Aufgabe der Naturwissenschaften und Grundlage für technische Anwendungen. Die Welt um uns herum ist offensichtlich mehrdimensional: Schon für eine einfache Ortsangabe brauchen Sie nicht nur eine einzige Variable, sondern drei Ortskoordinaten. Um naturwissenschaftliche oder technische Phänomene, wie zum Beispiel den Druck in einer dahinströmenden Flüssigkeit oder die Temperaturverteilung in einem Raum, mathematisch zu beschreiben, reichen Funktionen einer einzigen Variablen nicht aus: Nicht nur räumliche Verteilungen, sondern auch die meisten naturwissenschaftlichen Größen hängen von mehr als einem Parameter ab. Dieses Kapitel liefert eine Einführung in die Analysis zu Funktionen mehrerer Variabler.
Unsere Welt ist mehrdimensional
Genau wie bei Funktionen von einer Variablen ist für Funktionen mehrerer Variablen das Änderungsverhalten sehr interessant. Wie im eindimensionalen Fall bilden auch hierbei Grenzwertuntersuchungen die mathematische Grundlage. Allerdings sind diese im Mehrdimensionalen mitunter ein wenig trickreicher: Es gibt schon im Zweidimensionalen unendlich viele Richtungen, aus denen Sie sich einem Punkt nähern können. Dadurch entstehen unter Umständen im Mehrdimensionalen Situationen, die im Eindimensionalen nicht vorkommen können. Außerdem ist es oft viel schwieriger, sich eine Situation im Mehrdimensionalen anschaulich vorzustellen. In diesem Abschnitt erkläre ich Ihnen, was Funktionen mehrerer Veränderlicher sind, in welchen Situationen eine graphische Darstellung möglich ist und wie die analytischen Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen einer Variablen auf Funktionen mehrerer Variablen übertragen werden.
Viele Variablen und ein Funktionswert
Die einfachsten Beispiele für Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen, sind lineare Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Vektorräumen. Solche Abbildungen werden in der linearen Algebra untersucht, nachzulesen in den ersten beiden Teilen des ersten Buches »Mathematik für Ingenieure I für Dummies«. Die Analysis beschäftigt sich dagegen hauptsächlich mit nichtlinearen Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Räumen.
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