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daher gilt
Die Funktion ist also auf ganz stetig. Anders sieht das beim folgenden Beispiel aus: Die Funktion mit
ist im Punkt nicht stetig. Um das einzusehen, reicht es, wenn Sie eine einzige Folge in finden, für die die Funktionswertfolge nicht gegen den Funktionswert konvergiert. In diesem Beispiel konvergiert die Folge für gegen den Punkt , die zugehörige Funktionswertfolge aber nicht gegen den Funktionswert :
Der Grenzwert der Funktionswertfolge ist daher
Die Funktion kann also im Punkt nicht stetig sein.
Für eine Folge , die aus einer anderen Richtung gegen den Punkt konvergiert, kann die Funktionswertfolge aber trotzdem gegen den Funktionswert konvergieren. Zum Beispiel konvergiert die Folge ebenfalls gegen den Punkt und die zugehörige Funktionswertfolge ist die konstante Folge
Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Räumen
In vielen praktischen Problemen treten nicht nur reellwertige Funktionen mehrerer Variablen auf, sondern auch vektorwertige Funktionen. Vektorwertige Funktionen sind Funktionen, deren Funktionswerte mehrdimensionale reelle Vektoren sind. So ist zum Beispiel das Strömungsfeld in einem Wasserkanal eine Abbildung, die jedem dreidimensionalen Ortspunkt in diesem Kanal einen dreidimensionalen Geschwindigkeitsvektor zuordnet. Im Folgenden werden deswegen nicht nur reellwertige Abbildungen betrachtet, sondern auch Funktionen, die einem Vektor einen anderen Vektor zuordnen. Die einfachsten Beispiele dazu sind die linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen, die in den ersten beiden Teilen »Grundlegende lineare Algebra« und »Viel mehr lineare Algebra« des ersten Bandes behandelt werden. In der mehrdimensionalen Analysis liegt das Hauptaugenmerk aber auf nichtlinearen Abbildungen.
Eine vektorwertige Funktion wird durch
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