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Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

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Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

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in der Menge upper M enthalten ist: upper U left-parenthesis x right-parenthesis subset-of upper M.

      Der Rand partial-differential upper M einer Menge upper M subset-of upper V ist die Menge aller Punkte x element-of upper V, für die jede Umgebung upper U left-parenthesis x right-parenthesis subset-of-or-equal-to upper V sowohl Punkte y element-of upper M aus der Menge upper M als auch Punkte y prime element-of upper V reverse-solidus upper M aus dem Komplement upper V reverse-solidus upper M colon equals StartSet y prime element-of upper V vertical-bar y prime not-an-element-of upper M EndSet der Menge upper M enthält.

      Der Abschluss upper M overbar einer Menge upper M subset-of-or-equal-to upper V bezeichnet die Menge

upper M overbar colon equals upper M union partial-differential upper M subset-of-or-equal-to upper V comma

      das Innere ring-above upper M subset-of-or-equal-to upper M subset-of-or-equal-to upper V der Menge upper M ist

ring-above upper M colon equals upper M reverse-solidus partial-differential upper M subset-of-or-equal-to upper V period

      Die Elemente x element-of ring-above upper M heißen innere Punkte von upper M.

      Mit Hilfe der beiden Begriffe Umgebung und epsilon-Umgebung können Sie von konvergenten Folgen und ihren Grenzwerten sprechen.

      

Eine Folge left-parenthesis a Subscript n Baseline right-parenthesis Subscript n element-of upper I mit Folgengliedern a Subscript n Baseline element-of upper V heißt konvergent, falls es ein a element-of upper V gibt, sodass es zu jeder reellen Zahl epsilon greater-than 0 eine Zahl upper N left-parenthesis epsilon right-parenthesis element-of upper I mit der Eigenschaft

a Subscript n Baseline element-of upper U Subscript epsilon Baseline left-parenthesis a right-parenthesis for-all n element-of upper I mit n greater-than-or-equal-to upper N left-parenthesis epsilon right-parenthesis

      gibt. a heißt Grenzwert oder Limes der Folge left-parenthesis a Subscript n Baseline right-parenthesis Subscript n element-of upper I.

      Eine nicht konvergente Folge heißt divergent.

      Eine Folge left-parenthesis x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis Subscript k equals 1 comma 2 comma 3 comma ellipsis von Punkten x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline equals left-parenthesis x 1 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline comma x 2 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline comma ellipsis comma x Subscript n Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis element-of double-struck upper R Superscript n konvergiert also gegen den Grenzwert x overbar equals left-parenthesis x overbar Subscript 1 Baseline comma x overbar Subscript 2 Baseline comma ellipsis comma x overbar Subscript n Baseline right-parenthesis, in Formeln

limit Underscript k right-arrow infinity Endscripts x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline equals x overbar

      falls eine der folgenden beiden Bedingungen erfüllt ist:

       ,

        für alle .

      Diese Bedingungen sind äquivalent: Falls eine davon erfüllt ist, ist es automatisch auch die andere.

       Die folgenden Regeln gelten dann, wenn die beteiligten Folgen left-parenthesis a Subscript n Baseline right-parenthesis und left-parenthesis b Subscript n Baseline right-parenthesis konvergent sind:

       Konstante Faktoren können Sie herausziehen:

       Die Grenzwerte von Summen- beziehungsweise Differenzfolgen dürfen addiert (beziehungsweise subtrahiert) werden:

       Der Grenzwert der Produktfolge ist Produkt der Grenzwerte:

       Falls die Folgenglieder und der Grenzwert sind, dann ist der Grenzwert der Quotientenfolge der Quotient der Grenzwerte:

       Beträge können Sie herausziehen:

      Wenn Sie die Elemente einer Folge oder einer nicht leeren (unendlich großen) Teilmenge upper M subset-of-or-equal-to upper V eines normierten Raums left-parenthesis upper V comma parallel-to dot parallel-to right-parenthesis

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