für Determinanten anzugeben.
heißt die Zahl
die Determinante von
Determinanten für Matrizen mit mehr als drei Zeilen und Spalten berechnen Sie mit Hilfe des sogenannten Laplaceschen Entwicklungssatzes über die Kofaktoren bestimmter Matrixkomponenten.
heißt der Kofaktor zum Element
Mit Hilfe von Untermatrizen lassen sich ganz allgemein Determinanten auf zwei Weisen rekursiv berechnen.
Die eine Möglichkeit ist die Entwicklung nach der -ten Spalte: für ist:
Die andere Variante ist die Entwicklung nach der -ten Zeile: für ist:
Mit diesen beiden Methoden können Sie die Berechnung der Determinante jeder quadratischen Matrix
Determinanten werden zum Beispiel bei der weiter unten in diesem Kapitel beschriebenen Eigenwertberechnung und bei der Transformation verschiedener Koordinatensysteme zur mehrdimensionalen Integration benötigt, die in Kapitel 6 behandelt wird.
Außerdem können Sie mit Hilfe der Determinante der Systemmatrix die eindeutige Lösbarkeit eines quadratischen LGS feststellen.
die Determinante
Das Gauß-Verfahren
Es gibt sehr viele verschiedene Verfahren zur exakten oder näherungsweisen Lösung eines LGS. Die meisten dieser Verfahren eignen sich hauptsächlich für die computergestützte Lösung sehr großer LGS, das heißt für eine sehr große Zahl von Unbekannten und Gleichungen.
Einige Verfahren können Sie aber durchaus auch zur Berechnung der Lösung kleinerer LGS von Hand einsetzen. Das bekannteste und wichtigste dieser Verfahren ist der Gauß-Algorithmus. Die zugrunde liegende Idee ist es, das zu lösende Gleichungssystem auf obere Dreiecksgestalt zu bringen und dann die Lösung durch Rückwärtslösen zu bestimmen.
Ist beispielsweise
mit
dann ist die Lösung des LGS
1 Starten Sie in der -ten Zeile:
2 Weiter geht es mit der -ten Zeile:Diese können Sie nach auflösen, da Sie schon aus dem letzten Schritt kennen.
3 Auf
