2c, 3b3c2, -10y7, -7abc.
Одночлены состоят из коэффициента (числового множителя) и буквенной части.
6a2x = 6 (коэффициент) × a2x (буквенная часть).
Отдельно взятое число, буква или степень буквы тоже рассматриваются как одночлен. Например, -5 (одночлен без буквенной части), с и c5 (одночлены, в которых коэффициент равен 1).
Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются только коэффициентами.
Например, 7x2y3, -5x2y3, -x2y3 – подобны.
Сложение двух или нескольких одночленов возможно только тогда, когда среди слагаемых имеются подобные.
Например, 6x2y2 +9x2y2 – 7x2y2 = 8x2y2.
Здесь мы суммировали коэффициенты, оставив буквенную часть без изменений. Такое действие называется приведением подобных членов.
Можно этот пример решить иначе, вынеся общий множитель за скобки:
6x2y2 +9x2y2 – 7x2y2 = (6+9—7) x2y2 = 8x2y2.
Как мы видим, вынесение общего множителя за скобки – операция, идентичная приведению подобных членов.
Произведение двух или нескольких одночленов можно упростить лишь тогда, когда в них входят некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. При этом показатели степеней у соответствующих букв складываются, числовые коэффициенты перемножаются.
Пример: -10x2y×3x3y2 × (-xy3) = -10×3× (-1) (x2x3x) (yy2y3) = 30x6y6.
Для лучшего понимания, мы расписали это действие более подробно, хотя оно довольно прозрачное и может делаться устно.
Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель содержат некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. При этом показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.
Пример: 6x3y8z7: 2xy5z3 = 3x2y3z4.
Здесь числовой коэффициент делимого разделили на числовой коэффициент делителя, вычли показатели степени буквы x (3—1=2), буквы y (8—5=3) и буквы z (7—3=4).
При делении двух одночленов могут возникнуть две ситуации, которые требуют дополнительного пояснения.
1.Если показатели степени у некоторой буквы в делимом и делителе одни и те же, то в частное эта буква не войдёт (ведь нулевая степень любого числа равна единице).
Пример: 12x3y4: 4x3y2 =3y2.
2.Если показатель степени какой-нибудь буквы в делимом меньше, чем показатель степени той же буквы в делителе, то вычитание даёт отрицательную степень этой буквы.
Пример: 8x3y5: 2x5y3 = 4x-2y2 = (4y2) / (x2)
При возведении одночлена в степень используется правило возведения степени в степень.
Пример: Возведём одночлен 2a4b2 в четвертую степень.
(2a4b2) 4 = 24 (a4) 4 (b2) 4 = 16a16b8.
Не забывайте, что показатели степеней при данном правиле перемножаются.
Сумма одночленов называется многочленом.
Например,
