style="font-size:15px;"> Целая часть: 3t2 – 7t +5
Остаток: 34t – 37
Среди частных случаев деления многочлена на многочлен выделим делимость двучлена xm±am на x±a.
1. Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих чисел, т.е. xm-am делится на x-a
Примеры.
(x2-a2): (x-a) =x+a
(x3-a3): (x-a) =x2+ax+a2
(x4-a4): (x-a) =x3-ax2+a2x+a3
(x5-a5): (x-a) =x4-ax3+a2x2+a3x+a4
2. Разность одинаковых чётных степеней двух чисел делится не только на разность этих чисел, но и на их сумму т.е. xm-am при чётном m делится на x+a
Примеры.
(x2-a2): (x+a) =x-a
(x4-a4): (x+a) =x3-ax2+a2x-a3
(x6-a6): (x+a) =x5-ax4+a2x3-a3x2+a4x-a5
2a. Разность одинаковых нечётных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел.
Например, ни x3-a3, ни x5-a5 не делятся на x+a.
2б. Так как разность чётных степеней делится на x-a и на x+a, то она делится и на x2-a2.
Примеры.
(x4-a4): (x2-a2) =x2+a2
(x6-a6): (x2-a2) =x4+a2x2+a4
(x8-a8): (x2-a2) =x6+a2x4+a4x2+a6
3. Сумма одинаковых степеней двух чисел никогда не делится на разность этих чисел.
Например, ни x2+a2, ни x3+a3 не делятся на x-a.
4. Сумма одинаковых нечётных степеней двух чисел делится на сумму этих чисел.
Примеры.
(x3+a3): (x+a) =x2-ax+a2
(x5+a5): (x+a) =x4-ax3+a2x2-a3x+a4
4а. Сумма одинаковых чётных степеней двух чисел не делятся ни на разность, ни на сумму этих чисел.
Например, x6+a6 не делится ни на x-a, ни на x+a.
Запомнить эти формулы необязательно, но уметь их применять необходимо.
Для удобства и упорядочивания вышеизложенных сведений можно составить такую таблицу.
Возведение в степень n двучлена a+b.
(a+b) n=an+k1×an-1×b+k2×an-2×b2+…+bn (эта формула называется биномом Ньютона).
Где коэффициенты k (биноминальные коэффициенты) определяются из треугольника Паскаля.
Треугольник Паскаля – таблица бесконечная. Вершина таблицы и боковые стороны каждой строки имеют единицы. Остальные числа (в середине) равны сумме 2-ух чисел, которые находятся в предыдущей строке (над ними).Вы можете легко это проверить, а также потренироваться в составлении коэффициентов для степени 8. Теперь, зная секрет этой таблицы, вы можете без труда вычислить необходимые коэффициенты. Запомните только, что таблица начинается с нулевой степени.
Примеры.
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b) 6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
Разложение многочлена на множители.
