+5y -3 +2x2y -5x3 +3y – 2 = 6x2y – 12x3 +8y – 5.
Произведение многочленов.
Произведение одночлена и многочлена всегда можно представить в виде многочлена.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Схема: a× (b+c) =a×b+a×c (открытие скобок)
Например:
– 4x3 (2y3– x +6) = -4x32y3 + (-4x3 (-x)) + (-4x3 ×6) = -8x3y3 +4x4 – 24x3.
Мы выписали здесь промежуточные вычисления, хотя, в принципе, без этой записи можно обойтись.
Умножение многочлена на многочлен.
Произведение многочлена на многочлен равно сумме всех возможных произведений каждого одночлена одного из многочленов на каждый одночлен другого.
Схема: (a+b) × (c+d) =a×c+a×d+b×c+b×d
Пример. (3x2 – 6x +2) × (4x3 – 3x) = 12x5 – 9x3 – 24x4 +18x2 +8x3 – 6x =
= 12x5 – 24x4 – x3 +18x2 – 6x.
Существуют частные случаи умножения многочленов, которые называются формулами сокращённого умножения многочленов. Их желательно запомнить.
1. (a+b) 2 =a2+2ab+b2 (квадрат суммы)
2. (a-b) 2=a2—2ab+b2 (квадрат разности)
3. (a-b) (a+b) =a2-b2 (разность квадратов)
4. (a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3 (куб суммы)
5. (a-b) 3=a3—3a2b+3ab2-b3 (куб разности)
6. (a+b) (a2-ab+b2) =a3+b3 (сумма кубов)
7. (a-b) (a2+ab+b2) =a3-b3 (разность кубов)
Примеры: (2ma2 +0.1nb2) 2 = 4m2a4 +0.4mna2b2 +0.01n2b4
(5x3 – 2y3) 2 = 25x6 – 20x3y3 +4y6
(0.2a2b + c3) (0.2a2b – c3) = 0.04a4b2 – c6
(5ab2 +2a3) 3 = 125a3b6 +150a5b4 +60a7b2 +8a9
Предлагаю вам самим узнать, какие формулы были использованы в этих примерах.
Деление многочленов.
1. Деление многочлена на одночлен.
Частное от деления многочлена на одночлен равно сумме частных, полученных от деления каждого слагаемого многочлена на одночлен.
Схема:
2. Деление многочлена на многочлен в общем случае можно выполнить с остатком, подобно тому, как это делается при делении целых чисел.
Разделить многочлен P на многочлен Q значит найти многочлен M (частное) и N (остаток) удовлетворяющий двум требованиям: 1) должно соблюдаться равенство MQ+N=P и 2) степень многочлена N должна быть ниже степени многочлена Q.
Процесс нахождения частного M и остатка N аналогичен процессу деления с остатком многозначного числа на многозначное. Перед делением члены делимого и делителя располагается в порядке убывания степеней главной буквы.
Например, разделим 6x3 +2x2 – x +12 на 3x2 – 2x +6
Запись деления:
1.Делим первый член делимого 6x3на первый член делителя 3x2. Результат 2x – первый член частного.
2.Умножаем полученный член на делитель 3x2 – 2x +6, результат 6x3 – 4x2 +12x записываем под делимым.
3.Вычитаем
