style="font-size:15px;"> 5x3+10x2+3x+6=5x2 (x+2) +3 (x+2) = (x+2) (5x2+3)
20x3—12y3+8xy2—30x2y=20x3—30x2y+8xy2—12y3=10x2 (2x-3y) +
4y2 (2x-3y) = (2x-3y) (10x2+4y2)
При этом способе важно иметь в виду, что выражение a-b можно всегда представить в виде – (b-a). Поэтому, если множители отличаются только знаками, их всегда можно сделать одинаковыми.
Например:
6ab-2cb+9cd-27ad=2b (3a-c) +9d (c-3a) =2b (3a-c) -9d (3a-c) =
(3a-c) (2b-9d)
3 способ. С помощью формул сокращённого умножения.
Примеры.
9x2—1= (3x-1) (3x+1)
4x2+4x+1= (2x+1) 2
4 способ. Разложение квадратного трёхчлена ax2+bx+c=
=a (x-x1) (x-x2)
где x1 и x2-корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0
О решении квадратных уравнений мы поговорим позже.
А сейчас просто проиллюстрируем данный способ
одним примером.
Пример.
2x2+13x-24=2 (x-3/2) (x+8) = (2x-3) (x+8)
Сначала решается квадратное уравнение
2x2 +13x -24 = 0 и находятся его корни x1=3/2, x2=-8
Потом по формуле делается разложение.
Как правило, при разложении многочлена приходится комбинировать вышеперечисленными способами, но начинать преобразования, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.
Пример 1. Разложить на множители многочлен 36x3+24x+4x
Решение: Вынесем общий множитель 4x за скобки.
36x3+24x2+4x=4x (9x2+6x+1)
Трёхчлен 9x2+6x+1 можно представить в виде квадрата двучлена:
9x2+6x+1= (3x+1) 2
Таким образом, 36x3+24x2+4x=4x (3x+1) 2
Пример 2. Разложить на множители многочлен xy3—3y3+xy2z-3y2z
Решение: Вынесем за скобки общий множитель y2:
xy3—3y3+xy2z-3y2z=y2 (xy-3y+xz-3z)
Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвёртым, разложим на множители многочлен: xy-3y+xz-3z
xy-3y+xz-3z=y (x-3) +z (x-3) = (x-3) (y+z)
Окончательно получим:
xy3—3y3+xy2z-3y2z=y2 (x-3) (y+z)
Пример 3. Разложить на множители многочлен: a2—4ab-9+4b2
Решение: Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены многочлена. Полученный трёхчлен можно представить в виде квадрата разности.
(a2—4ab+4b2) -9= (a-2b) 2—9
Полученное выражение не что иное, как разность квадратов:
(a-2b) 2—9= (a-2b) 2—32= (a-2b-3) (a-2b+3)
Таким образом, a2—4ab-9+4b2= (a-2b-3) (a-2b+3).
Тестовые задания к теме 2
тест 1
тест 2
тест 3
тест 4
тест 5
тест 6
ЗАДАЧИ
