style="font-size:15px;"> Nmax = N/(1 – C(dN/dT)/N2). (3.7)
Так, в 1995 году скорость роста населения Земли составила dN/dT = 87,4 млн чел. в год, N = 5 682 млн чел.[89]. При С = 160 млрд чел.∙лет получим, что величина Nmax = 10 млрд чел., что близко к прогнозируемой максимальной численности человечества, что подтверждает корректность уравнения (3.3).
3.2. Численное решение
Решение дифференциального уравнения (3.3) численным методом приведено на рис. 3.5 и обозначено: «F2» (число людей дано в млн чел.). Там же для сравнения дано решение, предложенное С.П. Капицей (F1). Здесь С – константа из уравнений (1.2), (3.3), которая была выбрана из условия наилучшей аппроксимации С = 160 млрд чел. год, а величина Nmax = 10 150 млн чел.
Из рис. 3.5 видно, что решение данного уравнения относительно незначительно отличается от кривой С. П. Капицы. Наибольшее отличие от статистических данных наблюдается, как и у кривой Капицы, в начале XX века, что является следствием двух мировых войн, пандемии испанки и гражданской войны в России, которые привели к отклонению от теоретической зависимости до 10 %. После 1960 года, т. е. в период демографического перехода, отклонение от статистических данных не превышает 5 %, а от кривой F1 – 3,5 %.
Рис. 3.5. Варианты кривой демографического перехода (млн чел.)
Для более точного сравнения разных уравнений демографического перехода они представлены в табл. 3.1.
Таблица 3.1. Погрешность кривой демографического перехода
Там же приведены значения численности населения Земли N по статистическим данным, на которые опирался С.П. Капица[90]. Здесь ΔN/N – относительное отклонение решения от статистических значений. Видно, что предложенное решение F2 достаточно хорошо согласуется со статистическими данными и еще ближе к теоретической кривой С.П. Капицы, в которой также не могли учитываться такие факторы, как войны и пандемии.
Отметим, что период после 1960 года в мировой истории связан с максимальными темпами экономического роста, отсутствием значительных войн и кризисов, а также быстрым постколониальным развитием стран третьего мира. В этот момент наблюдались быстрые темпы роста населения Земли, которые не только компенсировали потери начала ХХ века, но и привели к превышению реальной численности населения по сравнению с теоретической зависимостью на 3–5 % в период 1975–2000 годов (см. рис. 3.5).
3.3. Аналитическое решение
Уравнение (3.3) может быть решено и аналитически. Для этого введем безразмерную переменную Х = N/Nmax и преобразуем уравнение (3.3) к виду
(1 / (Х2(1 – Х))dХ = (Nmax/С)dT. (3.8)
Решение этого уравнения имеет вид
1/Х – Ln (Х/(1 – X)) = (Nmax/С)(Т1 – Т). (3.9)
Возвращаясь к переменной N, получим
T = Т1 – С/N – (C/Nmax)Ln(N/(Nmax – N)). (3.10)
Величина C/Nmax имеет размерность времени и характеризует время демографического перехода С/Nmax = N0T0 /Nmax ≈ 16 лет. Если ввести параметр характерного времени демографического перехода t1 =
Капица С.П. Парадоксы роста: законы глобального развития человечества. – М., 2012.
Капица С.П. Парадоксы роста: законы глобального развития человечества. – М., 2012.
