изменения доходности, соответствующая изменению цены
Другая мера волатильности цены облигации, используемая инвесторами, – это величина изменения доходности, соответствующая определенному изменению цены. Для ее вычисления прежде всего подсчитывают доходность к погашению облигации при падении цены облигации на Х долларов. Затем находится разность между начальной доходностью и новой доходностью, т. е. изменение доходности, соответствующее изменению цены на Х долларов. Чем меньше данная величина, тем выше долларовая волатильность цены, поскольку для изменения цены на Х долларов достаточно будет меньшего изменения доходности.
До недавнего времени казначейские ноты и облигации котировались на основе 1/32 процентного пункта. Таким образом, инвесторы рынка казначейских ценных бумаг вычисляли изменение доходности, соответствующее изменению цены на 1/32. Наши две гипотетические облигации с купоном 9 % при условии падения цены на 1/32 демонстрируют следующее изменение доходности:
Корпоративные и муниципальные облигации, речь о которых пойдет в главах 6 и 7, торгуются с минимальным изменением цены, равным 1/8 процентного пункта. Таким образом, инвесторы этих рынков вычисляют изменение доходности, соответствующее изменению доходности на 1/8. Две гипотетические облигации с купоном 9 % при условии падения цены на 1/8 демонстрируют следующие доходности:
Дюрация
В главе 2 мы писали о том, почему цена облигации, не имеющей встроенных опционов, может быть выражена в виде формулы[18]:
где:
P – цена облигации;
C – полугодовая купонная выплата (в долларах);
y – половина доходности к погашению или требуемой доходности;
n – число полугодовых периодов (число лет × 2);
M – номинальная стоимость (в долларах).
Для выяснения примерного изменения цены при небольшом изменении доходности следует вычислить первую производную выражения (4.1) по требуемой доходности:
Преобразовав формулу (4.2), получаем:
Выражение в скобках – это средневзвешенный срок до погашения денежных потоков облигации (взвешивание производится по приведенной стоимости денежного потока).
Формула (4.3) обозначает приблизительное долларовое изменение цены при небольшом изменении требуемой доходности. Деление обеих частей выражения (4.3) на Р позволяет найти значение примерного процентного изменения:
Выражение в скобках, деленное на цену (в нашем случае умноженное на 1/Р), принято называть дюрацией Маколея[19], таким образом:
Подставив величину дюрации Маколея в формулу (4.4) для вычисления примерных процентных изменений
Формула (4.1) предполагает, что следующая купонная выплата состоится ровно через шесть месяцев с настоящего времени и накопленный купонный доход отсутствует. Как мы уже объясняли в главе 2, данную модель несложно приспособить к ситуации, когда купонная выплата ожидается менее чем через шесть месяцев: цена должна быть уточнена с поправкой на накопленный купонный доход.
Фредерик Маколей впервые ввел этот термин в исследовании, опубликованном в 1938 году Национальным бюро экономических исследований: данная мера была использована вместо срока до погашения для обозначения приблизительного значения средней продолжительности времени, в течение которого инвестиция в облигацию находится в обращении (см. Frederick Macaulay, S
