Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография. Виктор Иванович Шаповалов

      где Y₁ = φ; Y₂ = dφ/dt;

      F₁ = Y₂;

      F₂ = εY₂ – Y₁²Y₂ – Y₁. (36)

      Находим стационарное решение

      Y_1cm = Y_2ст = 0. (37)

      По формуле (П12) с учетом (36) находим коэффициенты линейного разложения

      а₁₁ = 0;

      а₁₂ = 1;

      а₂₁ = –2Y_1стY_2ст – 1;

      а₂₂ = ε – Y_21ст.

      По формулам (П22) находим

      B = ε – Y²_1ст;

      ∆ = 2Y_1стY_2ст + 1; (38)

      D = (ε – Y²_1ст)² – 4 ∆.

      Подставив стационарное решение (37) в (38), получим, что

      B > 0; ∆ > 0; D = ε² – 4. (39)

      2.3.3. Если ε достаточно мало, то D становится отрицательным, а распределение знаков в (39) соответствует неустойчивому фокусу (см. (П30)). В этом случае фазовая траектория в координатах Y₁ и Y₂ будет представлять собой спираль, раскручивающуюся из начала координат (см. рис. П5).

      Раскручивание спирали приводит к тому, что с течением времени увеличивается переменная Y₁, которую мы использовали для обозначения угловой величины φ из уравнения (35). Если величина φ вырастает настолько, что выполняется φ² > ε, то знак перед производной первого порядка в уравнении (35) становится положительным. Тогда в первом из уравнений (38) мы получим, что B = —ε (при Y_1cm = 0), т. е. B < 0. Учитывая, что ∆ > 0; D < 0, и сравнивая с выражением (П25), приходим к заключению о том, что в этом случае стационарное решение (37) является устойчивым фокусом. Фазовая траектория представляет собой спираль, сходящуюся к началу координат (см. рис. П2).

      Эволюционная диаграмма переменной Y₁ показана на рис. 4. Штриховой линией обозначены фазовые траектории в пространстве Y₁, Y₂. Огибающие этих траекторий выделены. Вид сечения эволюционной диаграммы в месте сшивки двух конусов в координатах Y₁ и Y₂ совпадает с предельным циклом. При этом очевидно, что радиус спирали с течением времени стремится к значению √ε по оси Y₁. Причем если речь идет о малом значении ε, т. е. о малой вязкости γ₀, то вид устойчивого стационарного решения закона (35) должен быть близок к уравнению окружности [2]:

      Y²_1ст + Y²_2ст ≈ ε.

      2.3.4. Таким образом, в фазовом пространстве двух переменных генератору Ван дер Поля соответствует устойчивая замкнутая траектория (аттрактор) – предельный цикл.

      Сравнивая между собой эволюционные диаграммы, представленные на рис. 2 и 4, приходим к выводу об общих закономерностях возникновения устойчивых состояний описанных экономической и физической систем.