= µY2ст – η = 0 – η = – η;
a22 = µY1ст + σ = 0 + σ = σ.
По формулам (П22) вычислим B, ∆ и D:
B = σ – γ, ∆ = ηc – σγ, D = (σ + γ)2 – 4ηc.
Выше мы уже установили, что γ и σ меньше, чем η и с. Это позволяет нам определить знаки только величин ∆ и D: ∆ > 0; D < 0. Для B возникают две ситуации.
Ситуация 1: σ > γ. В этой ситуации большинство клиентов сохраняют верность фирме (γ уменьшается). При этом распределение знаков имеет вид
B > 0; ∆ < 0; D > 0.
Последнее совпадает с (П30), т. е. в данном случае решение (29) соответствует неустойчивому фокусу (см. рис. П5). Расширяющаяся спираль указывает на рост значений переменных Y1 и Y2 (числа клиентов и прибыли).
Ситуация 2: σ < γ. Эта ситуация возникает, если фирма по каким-либо причинам теряет часть клиентов (γ увеличивается). Распределение знаков имеет вид
B < 0; ∆ < 0; D > 0.
Данное сочетание знаков совпадает с (П25), т. е. в данном случае решение (29) соответствует устойчивому фокусу (см. рис. П2). Сжимающаяся спираль указывает на уменьшение числа клиентов Y1 и прибыли Y2.
На практике механизм перехода фирмы из одной ситуации в другую может выглядеть следующим образом.
В ситуации 1 благодаря состоянию «неустойчивый фокус» (расширяющаяся спираль в пространстве координат Y1 и Y2) происходит рост числа клиентов и прибыли. По мере роста числа клиентов увеличивается и число страховых выплат. Наступает момент, когда клиентов становится настолько много, что их взносы не покрывают убыток от страховых выплат. В этом случае фирма вынуждена уменьшить, например, размер страховой премии. Из-за этого часть клиентов уходит из данной фирмы (γ увеличивается). В результате фирма оказывается в ситуации 2. Этой ситуации соответствует состояние «устойчивый фокус» (сжимающаяся спираль в пространстве координат Y1 и Y2). В таком состоянии число клиентов уменьшается до тех пор, пока прибыль фирмы не позволит вернуться к прежней повышенной страховой премии. В этом случае клиенты перестанут уходить из фирмы, что соответствует уменьшению γ. В результате фирма переходит в ситуацию 1, и т. д.
2.2.2.4. Таким образом, мы показали, что система «частная страховая фирма» с течением времени приходит к устойчивому состоянию, представляющему собой колебания вокруг оптимальных значений числа клиентов и размера прибыли. Сами оптимальные значения зависят от величин коэффициентов γ, σ, η и с.
2.3. Модель устойчивости физической системы: генератор Ван дер Поля
В этом разделе мы покажем, что устойчивое поведение маятника, колеблющегося в среде с переменной вязкостью, и устойчивое поведение средней фирмы, рассмотренное нами в разделе 2.1, имеют много общего [28].
2.3.1. Рассмотрим систему, представляющую собой математический маятник, совершающий колебания в вязкой среде, коэффициент вязкости γ которой зависит от θ – угла отклонения маятника от положения равновесия – по следующему закону: а) γ < 0 при малых θ и б) γ > 0 при больших θ. Такая система при некотором критическом значении угла θ должна совершать устойчивые
