с найдем, подставив y1 в (5):
Воспользуемся (13):
Здесь мы учли, что
Найденное значение с подставим в (13):
– частное решение уравнения (5). Его общее решение запишем по формуле (6) (y* возьмем из (9)):
Выражение в скобках можно упростить, заменив постоянные A1 и A2 на новые постоянные A и φ0 по формулам
A1 = A sin φ0 и A2 = A cos φ0
(легко увидеть, что
A1 cos δt + A2 sin δt = A (sin φ0 cos δt + cos φ0 sin δt) = A sin (δt + φ0).
В результате (14) примет вид
Уравнение (15) представляет собой формулу зависимости от времени количества товара, приобретаемого благодаря действию рекламы.
Из (15) следует, что если рекламировать товар с постоянной интенсивностью достаточно долго (a = const), то начнутся колебания y вокруг постоянного значения a/γ, т. е. возникнет чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы (см. рис. 1).
Сравним (15) с известным законом колебательного движения
x = A sin (ωt + φ0).
Как видим, δ совпадает по смыслу с циклической частотой ω. Отсюда, воспользовавшись соотношением для периода колебаний T = 2π/ω, получаем формулу для промежутка времени положительного восприятия рекламы:
где δ вычисляется из (8). Для определения численных значений коэффициентов, входящих в (8), возможно использование эконометрических методов.
Рис. 1. Чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы
Глава 2
Приложение дифференциального исчисления для анализа устойчивости систем
К настоящему времени в экономике системные закономерности наиболее подробно рассмотрены в математических моделях экономического роста крупных регионов, например городов, областей, государств (см., например, [7,14]). При этом в качестве переменных величин, как правило, выбирались национальный доход, капитал, средний уровень зарплаты, цены и т. п. Модели таких систем характеризуют результаты согласованного поведения большого количества фирм, входящих в регион. В данной главе будет проведен анализ поведения отдельной фирмы, для которой экономика региона играет роль внешней среды.
Мы рассмотрим фирму, обладающую следующими средними (по региону) показателями: числом сотрудников и величиной оборотного капитала. Главная задача данного раздела – раскрыть важную роль управляющих параметров, которую они играют при выборе системой пути к тому или иному устойчивому состоянию.
Вначале мы построим общую математическую модель поведения средней фирмы. Затем в качестве примера найдем устойчивые состояния предприятия, занимающегося конкретным видом деятельности, например страхованием.
2.1. Анализ устойчивости
