Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография. Виктор Иванович Шаповалов

Скачать книгу

функцией любой фирмы является прибыль. Согласно классическому определению, прибыль (Y) представляет собой разность между доходом (D) и расходом (R): Y = D – R. Специфика страховой фирмы проявляется в составляющих ее дохода и расхода. Введем следующие обозначения:

      N – количество клиентов;

      s – страховой взнос клиента;

      p – размер страховой выплаты клиенту;

      Q* – количество страховых выплат.

      Тогда доход фирмы равен sN, а расход – pQ*. В результате приходим к известному уравнению, характеризующему суть страхового бизнеса:

      Y = sN – pQ*. (21)

      2.2.1. Модель государственной страховой фирмы

      Характерной особенностью государственной страховой фирмы является требование всеобщего страхования (например, в рамках конкретного страхового профиля), т. е. N = const.

      В качестве переменной задачи выберем прибыль страховой компании Y. Сформулируем главную пропорцию: прирост прибыли dY/dt (увеличение прибыли с течением времени t) пропорционален числу клиентов, а также величине самой прибыли, если часть прибыли вкладывается в какие-нибудь доходные предприятия (~ NY). Кроме того, следует отнять ту часть прироста прибыли, которую фирма не дополучила из-за выплат клиентам (~ Q*). Уравнение, соответствующее данной пропорции, примет вид

      

(22)

      где знак пропорции ~ мы заменили коэффициентами пропорциональности α и ε.

      Выразим Q* из (21)

      

      Подставив это выражение в (22), получим

      

      и окончательно

      

(23)

      – эволюционное уравнение государственной страховой фирмы. В (23) введены обозначения: λ = ε/p; δ =εs/p.

      Стационарное решение Y_ст уравнения (23) найдем из условия (П8) (dY_ст/dt = 0):

      0 = Y_cт (α N + λ),

      откуда

      

      – стационарное значение прибыли в государственной страховой фирме.

      Зададим возмущение y для Y_ст. Поскольку в задаче только одна переменная, а именно Y (прибыль), то закон изменения возмущения с течением времени (П13) запишется в простом виде

      y = c exp (ωt).

      Характеристическое уравнение (П14) также сильно упрощается:

      a₁₁ – ω = 0,

      Следовательно, ω = a₁₁ и

      y = c exp (a₁₁ t). (24)

      где a₁₁ вычисляется по формуле (П12). В этой формуле перейдем к обозначениям без индексов, так для одной переменной в них нет смысла:

      

(25)

      где F – правая часть эволюционного уравнения (23). Все величины в (25) положительные (в частности, из (22) видно, что прибыль фирмы будет увеличиваться, т. е. dY/dt > 0, если коэффициент пропорциональности α положителен). Следовательно,

      a₁₁

Скачать книгу