натуральных чисел, меньших 10, поэтому
A = {1, 3, 5, 7, 9};
(b) B состоит из натуральных чисел, меньших 50, для которых квадратный корень из выражения 4х + 1 является натуральным числом, поэтому
В = {2, 6, 12, 20, 30, 42};
(с) C состоит из натуральных чисел, для которых квадратный корень меньше кубического корня из утроенного х. Это выполняется для первых 8 натуральных чисел, поэтому
С = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.
1.3. Имеются следующие множества:
А = {1, 2}, B = { 1, 3, 5 }, C = {1, 2, 7, 9 }, D = {{1}, {2}}.
Определить, корректно ли поставлены символы ∈ и ⊆
(a) A ∉ C, потому что элементами множества C не являются множества.
(b) Ø ⊆ A, потому что Ø является подмножеством каждого множества.
(c) В ⊄ С, потому что элемент 4 ∈ В, но 4 ∉ С.
(d) A ⊆ С, потому что все элементы А также принадлежат и С.
(e) А ∉ D, потому что D не имеет элемента {1, 2}.
(f) 1 ∉ D, потому что элементом множества D является не число 1, а множество {1}.
(g) A ⊆ {1, 2,{1, 4}}, поскольку все элементы А являются элементами {1, 2,{1, 4}}
(h) {3} ∉ B, потому что 3 является элементом В, а {3} – нет.
1.4. Показать, что A = {2, 3, 4, 5} не является подмножеством В = {x: x ∈ N и х – простое число}.
Для доказательства необходимо показать, что в А есть по крайней мере один элемент, которого нет в В. Рассмотрим элемент 4 ∈ А, и поскольку 4 разлагается на произведение 4 = 2 * 2, то оно не является простым и поэтому не принадлежит множеству В.
1.5. Показать, что множество А = {a, d, c, d} является собственным подмножеством B = {a, b, c, d, f, g}.
Поскольку каждый элемент А принадлежит В, то А ⊆ В. Но в В есть элемент f ∉ A, поэтому А ≠ В и, следовательно, А является собственным подмножеством В, т. е. А ⊂ В.
1.6. Для множества А = {4, 6, 8, 10} найти его несобственное подмножество.
Несобственное подмножество А должно состоять из тех же самых элементов, что и само множество А, т. е. это множество {4, 6, 8, 10}.
Операции над множествами
1.7. Найти все пересечения и объединения следующих множеств:
A = (1, 2, 3, 4, 6}, B = {3, 4, 5, 7 }, C = {6, 7, 8}.
Пересечение множеств А и В состоит только из тех элементов, которые входят и в А и в В, а объединение – из тех элементов, которые входят в А, входят в В, а также тех, которые являются общими для них, т. е. входят в их пересечение:
А ∩ В = {3, 4} А ∩ C = {6} B ∩ C = {7} А ∩ В ∩ C = Ø,
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 6, 8} B ∪ C ={3, 4, 7, 8},
A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
1.8. Даны пересечения и объединения множеств А, В и С.
А ∩ В = {4} А ∩ C = {5} B ∩ C = {7}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} B ∪ C = {4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Найти множества A, B, C.
Нетрудно видеть, что А ∩ В ∩ C = Ø, потому что нет ни одного элемента, общего для всех трех пересечений А ∩ В, А ∩ C и B ∩ C.
