также и элементом
А1c ∩ А2c и из этого следует, что А1c является подмножеством А1c ∩ А2c, т. е. А1c ⊆ А1c ∩ А2c, но поскольку А1c ⊆ А2c по определению, то тогда А1c ⊆ А2c.
Пусть теперь
А2c = А2c ∩ U = А2c ∩ (А1c∪ А) =
Выполнив преобразования, как и в первом случае, получим
= А1c ∩ А2c, т. е. А2c ⊆ А1c, но из этого следует, что
А1c = А2c = АС.
Итак, мы предположили, что существует два дополнения, а затем показали, что они совпадают, и это доказывает единственность дополнения множества А.
1.19. Известно, что для чисел операция равенства является транзитивной, т. е. если a = b и b = c, то из этого следует, что a = c. Свойство транзитивности во многих случаях оказывается очень полезным. Например, если необходимо знать, равны ли все три числа a, b и c, то достаточно проверить равенство только двух любых пар, допустим a = b и b = c, третье равенство a = c можно не проверять – оно будет выполнено в силу транзитивности. Однако если рассматривать операцию ≠, то транзитивность не выполняется. Например, a = 2, b = 3, c = 2 и тогда a ≠ b, b ≠ c, но a = c. Для множеств также операция включения множеств А ⊆ В транзитивна, но операция ⊄ не является транзитивной. Доказать, что если А ⊄ В и В ⊄ С, то из этого не следует А ⊄ С.
Для доказательства достаточно рассмотреть следующий случай. Пусть А и В непустые непересекающиеся множества, и пусть А = С. Тогда А ⊄ В и В ⊄ С, но А ⊆ С.
1.20. Для любых множеств А, В и С доказать ложность следующего утверждения:
если A ∪ B = B ∪ C, то А = В.
Если С непустое множество, С = А и множество В = Ø, тогда А ∪ Ø = Ø ∪ С и А ≠ В.
1.21. Пусть А, В и С непустые попарно пересекающиеся подмножества U. Доказать ложность следующих утверждений:
(a) если А ⊆ (В ∩ С), то неверно, что А ∩ В ⊆ В ∩ С и А ∩ С ⊆ В ∩ С;
(b) если А ∩ В ⊆ В ∩ С и А ∩ С ⊆ В ∩ С, то тогда А ⊆ (В ∩ С);
(c) если А ⊆ (В ∩ С), то А ∩ В ≠ А ∩ С.
(a) Если А ⊆ (В ∩ С), то по определению пересечения А ⊆ В, А ⊆ С, но из этого следует, что А ∩ В = А и А ∩ С = А, т. е. А ∩ В = А ∩ С = А, и, значит, верно, что А ∩ В ⊆ В ∩ С и А ∩ С ⊆ В ∩ С. Поэтому исходное утверждение ложно.
(b) Для доказательства рассмотрим следующие множества. Пусть А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {3, 4, 5}. Найдем
А ∩ В = {3}, В ∩ С = (3, 4, 5}, А ∩ С ={3}. Здесь оба пересечения и А ∩ В и А ∩ С включаются в В ∩ С, но множество А не включается в В ∩ С. Поэтому исходное утверждение ложно.
(c) Если А содержится в В ∩ С, то по определению операции пересечения оно сдержится и в В, и в С. Но если А содержится в В, то пересечением А ∩ В будет множество А. Поскольку А содержится в С, то пересечением А ∩ С также будет множество А. Значит, оба множества и А ∩ В и А ∩ С состоят из одних и тех же элементов и поэтому они равны, т. е. А ∩ В = А ∩ С.
1.22. Доказать, что операция разности множеств
