style="font-size:15px;"> 30 – 8–6 – 6 = 10 имеют только «понтиаки».
Заполним диаграмму на рис. 1.27.
Рис. 1.27
Только одну марку автомобиля имеют 5 + 10 + 10 = 25 терминалов, что и видно из диаграммы на рис. 1.24.
Алгебра множеств и двойственность
1.16. Написать двойственное для каждого из выражений, представленных ниже:
(a) A = (A ∩ BC) ∪ (A ∩ B),
(b) B = (B ∩ U) ∪ (A ∩ B),
(c) АС ∩ (AС ∪ U)С = Ø,
(d) (AC ∪ BC) ∪ (A ∩ B) = U,
(e) A ∩ BC ∩ C = (A ∩ C) ∩ (AC ∪ BC ∪ CC).
Заменим все ∩, ∪,Ø и U в каждом равенстве и получим двойственные равенства:
(a) A = (A ∪ BC) ∩ (A ∪ B),
(b) B = (B ∪ Ø) ∩ (A ∪ B),
(c) АС ∪ (AС ∩ U)С = U,
(d) (AC ∩ BC) ∩ (A ∪ B) = Ø,
(e) A ∪ BC ∪ C = (A ∪ C) ∪ (AC ∩ BC ∩ CC).
1.17. Пусть имеются множества А, В, С и пусть универсальное множество U = A ∪ B ∪ C. Доказать следующие равенства:
(a) A ∩ B ∩ CС = (A ∩ В)\(A ∩ B ∩ C),
(b) A ∩ BC ∩ C = (A ∩ C)\(A ∩ B ∩ C),
(c) AC ∩ B ∩ C = (B ∩ C)\(A ∩ B ∩ C),
(d) AC ∩ BC ∩ CС= Ø,
(e) AС ∩ BС ∩ C = AС ∩ ВС,
(f) AC ∩ B ∩ CС= AС ∩ СС,
(g) A ∩ BC ∩ CС= BС ∩ СС,
(h) A ∩ B ∩ C = (A ∩ В)\(А ∩ В ∩ СС).
(a) Преобразуем правую часть равенства
(A ∩ В)\(A ∩ B ∩ C) = (A ∩ В) ∩ (AC ∪ BC ∪ CC) = тождество упражнения 1.13.
= (A ∩ В) ∩ (AC ∪ BC ∪ CC) =
= (A ∩ B ∩ АC) ∪ (A ∩ B ∩ ВС) ∪ (A ∩ B ∩ CC) = дистрибутивность
= Ø ∪ Ø ∪ (A ∩ B ∩ CC) = по закону дополнения
= A ∩ B ∩ CC по закону тождества.
(b) (A ∩ C)\(A ∩ B ∩ C) = (A ∩ C) ∩ (AC ∪ BC ∪ CC) =
= (A ∩ C ∩ АC) ∪ (A ∩ C ∩ ВС) ∪ (A ∩ C ∩ CC) =
= Ø ∪ (A ∩ C ∩ BC) ∪ Ø = A ∩ B ∩ CC.
(c) (B ∩ C)\(A ∩ B ∩ C) = (B ∩ C) ∩ (AC ∪ BC ∪ CC) =
= (B ∩ C ∩ АC) ∪ (B ∩ C ∩ ВС) ∪ (B ∩ C ∩ CC) =
= (B ∩ C ∩ АC) ∪ Ø ∪ Ø = AC ∩ B ∩ C.
(d) AC ∩ BC ∩ CС = (A ∪ B ∪ C)C = по закону де Моргана
= (U)C = Ø. замена и дополнение
(e) AС ∩ ВС = (AС ∩ ВС) ∩ (С ∪ CC) = поскольку (С ∪ CC) = U
= (AС ∩ ВС ∩ С) ∪ (AС ∩ ВС ∩ СC) = (AС ∩ ВС ∩ С) ∪ Ø = = (AС ∩ ВС ∩ С).
(f) AС ∩ СС = (AС ∩ CС) ∩ (B ∪ BC) = поскольку (B ∪ BC) = U
= (AС ∩ В ∩ СC) ∪ (AС ∩ ВС ∩ СC) = (AС ∩ В ∩ СC) ∪ Ø = = (AС ∩ В ∩ СC).
(g) BС ∩ СС = (BС ∩ CС) ∩ (A ∪ AC) = поскольку (A ∪ AC) = U
= (A ∩ ВC ∩ СC) ∪ (AСВС ∩ СC) = (A ∩ ВC ∩ СC) ∪ Ø = = (A ∩ ВC ∩ СC).
(h) (A ∩ В)\(А ∩ В ∩ СС) = (A ∩ В) ∩ (А ∩ В ∩ СС)С = тождество упражнения 1.13.
= (A ∩ В) ∩ (AС ∩ ВС ∩ С)
