также мощностью множества). Пусть имеется два конечных множества А и В и требуется найти количество элементов их объединения, т. е. n(А ∪ В).
Если эти множества не пересекаются, то тогда
n(A ∪ B) = n(A) + n(B).
Если имеется пересечение, то тогда разобьем их на подмножества. Множество А разобьем на два непересекающихся подмножества А ∩ ВС и A ∩ В, а множество В на два непересекающиеся подмножества В ∩ АС и A ∩ В, как показано на рис. 1.25
Рис. 1.25
Тогда n(A) = n(А ∩ ВС) + n(А ∩ В) и
n(B) = n(B ∩ AС) + n(А ∩ В).
Сложим эти равенства почленно и получим
n(A) + n(B) = n(А ∩ ВС) + n(B ∩ AС) + n(А ∩ В) + n(А ∩ В).
Из диаграммы видно, что объединение множеств (А ∩ ВС) ∪ (B ∩ AС) представляет собой множество А ∪ В, из которого удалено пересечение А ∩ В, поэтому сумма n(А ∩ ВС) + + n(B ∩ AС) эквивалентна n(А ∪ В) – n(А ∩ В), отсюда
n(A) + n(B) = n(А ∪ В) – n(А ∩ В) + n(А ∩ В) + n(А ∩ В) = = n(А ∪ В) + n(А ∩ В). Поэтому для любых конечных множеств А и В справедливо равенство
n(А ∪ В) = n(A) + n(B) – n(А ∩ В).
При трех множествах количество элементов объединения находится по формуле
n(А ∪ В ∪ С) = n(A) + n(B) + n(C) – n(А ∩ В) – n(А ∩ C) – n(B ∩ C) + n((А ∩ В ∩ C).
Математической индукцией можно получить дальнейшее обобщение этого результата для любого конечного числа множеств m.
n(A1 ∪ A2 ∪ …Am) = n(A1) + n(A2) + … n(Am) – n(А1 ∩ A2) – … – n(Аm-1 ∩ Am) + n(A1 ∩ A2 ∩ A3) + … + n(Аm-2 ∩ Am-1 ∩ Am) – … – (-1)m-1n(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ Am).
Знак плюс в этой формуле ставится, когда пересечение берется для нечетного числа множеств, а минус, если это число четно.
1.15. В логистическом центре торговой компании имеется информация о наличии на ее 56 торговых терминалах трех марок автомобилей: «рено», «ягуар» и «понтиак».
23 терминала имеют «рено»;
26 терминалов имеют «ягуары»;
30 терминалов имеют «понтиаки»;
10 терминалов имеют «рено» и «ягуары»;
14 терминалов имеют «рено» и «понтиаки»;
12 терминалов имеют «ягуары» и «понтиаки»;
6 терминалов имеют все три марки автомобилей.
Обозначим через А, В и С множество терминалов имеющих «рено», «ягуары» и «понтиаки» соответственно. Эта информация может быть представлена диаграммой Венна, как на рис. 1.26.
Рис. 1.26
Необходимо заполнить количеством терминалов каждую из 8 областей диаграммы, а также найти количество терминалов, на которые поступила только одна марка автомобиля.
Определим количество терминалов, на которых имеет хотя бы один автомобиль одной из трех марок, т. е. найдем количество элементов объединения n(А ∪ В ∪ C).
n(А ∪ В ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(А
