type="note">[28] Мэй рассмотрел динамику математического уравнения, описывающего циклический рост популяции. Он показал, что даже вполне невинно выглядящее уравнение может давать численные результаты с необычайно сложным поведением. Его формула популяционной динамики была не каким-нибудь сложным дифференциальным уравнением, а простым дискретным уравнением с обратной связью, которое мог обсчитать кто угодно при помощи карманного калькулятора.
Уравнение динамики популяции с обратной связью
Рассмотрим популяцию животных, численность которой может варьироваться от нуля до некоторого гипотетического максимального значения, обозначенного N. Существует некоторая доля Y этого максимума (лежащая между 0 и 1), определяющая в уравнении, какая часть популяции выживет к следующему циклу с учетом воспроизводства и борьбы за пищевые ресурсы. Предположим, что коэффициент воспроизводства в каждом цикле равен r. Тогда, если доля максимальной численности популяции, выжившая к концу цикла, была равна Y, то численность следующего поколения составит r · Y · N.
Но выживут не все вновь появившиеся животные. Согласно этому уравнению, доля не выживших животных также будет равна Y. То есть из r · Y · N животных, существовавших в начале цикла, умрет Y(r · Y · N). Значит, всего к концу цикла останется в живых (r · Y · N) – (r · Y 2 · N) = [r · Y(1 – Y)] · N животных, а доля максимальной численности популяции, существующая в текущем цикле, равна r · Y(1 – Y).
По сути дела, эта модель предполагает, что произведение численности выжившей к концу каждого цикла части популяции на постоянный коэффициент r, называемый коэффициентом воспроизводства, дает число животных, существующих в начале следующего цикла. Но необходимых для выживания ресурсов на всех не хватает. Поэтому уравнение вычисляет, какая часть этих животных доживет до конца цикла. Полученное число выживших животных снова умножают на коэффициент r, что дает численность следующего поколения. Интересная особенность этого уравнения состоит в том, что его поведение сильно зависит от выбора значения r, коэффициента воспроизводства. Некоторые значения r дают в высшей степени непредсказуемое поведение. Мы можем точно знать, как будут изменяться значения. Но существует некий предел, за которым они полностью выходят из-под контроля. Знание внезапно оказывается недостижимым, так как добавление всего одного лишнего животного может привести к резкому изменению динамики численности популяции.
Например, Мэй выяснил, что при значениях r от 1 до 3 численность популяции в конце концов стабилизируется. В этом случае, каковы бы ни были начальные условия, численность будет постепенно стремиться к некоторому постоянному значению, зависящему от величины r. Это похоже на игру на бильярде, в центре которого устроена воронка. Куда бы я ни запустил шар, рано или поздно он окажется на дне воронки.
При r, бо́льших 3, также обнаруживается участок
