style="font-size:15px;"> Аксиома 1. Действие сложения нескольких чисел (слагаемых) – это их соединение в одно число (сумму).
Аксиома 2. Все арифметические действия являются либо сложением, либо производными от сложения.
Аксиома 3. Существуют прямые и обратные арифметические действия.
Аксиома 4. Прямые действия – это разновидности сложения. Кроме самого сложения к ним относятся также умножение и возведение в степень.
Аксиома 5. Обратные действия – это вычисление аргументов функций. К ним относятся вычитание, деление и логарифм.
Аксиома 6. Не существуют иные действия с числами, кроме комбинаций из шести арифметических действий40.
3.2.3. Базовые свойства чисел
Следствием аксиом действий являются следующие базовые свойства чисел, обусловленные необходимостью практических вычислений:
1. Наполнение: a+1>a
2. Нейтральность единицы: a×1=a:1=a
3. Коммутативность: a+b=b+a; ab=ba
4. Ассоциативность: (a+b)+c=a+(b+c); (ab)c=a(bc)
5. Дистрибутивность: (a+b)c=ac+bc
6. Сопряженность: a=c → a±b=b±c; ab=bc; a:b=c:b; ab=cb; logba= logbc
Эти свойства известны давным-давно как азы начальной школы и до сих пор они воспринимались как элементарные и очевидные. Отсутствие должного понимания происхождения этих свойств из сущности понятия числа стало причиной разрушения науки как целостной системы знаний, которую нужно теперь отстраивать, начиная с азов и сохраняя при этом всё то ценное, что осталось от настоящей науки. Приведённая выше аксиоматика исходит из определения сущности понятия числа и поэтому представляет собой единое целое. Однако этого недостаточно для того, чтобы оградить науку от другой напасти, т.е. чтобы в процессе развития она не утонула в океане собственных изысканий, или не запуталась в сложных переплетениях большого множества разных идей.
В этом смысле нужно очень чётко понимать, что аксиомы не являются утверждениями, принятыми без доказательств. В отличие от теорем, они есть только констатации и ограничения, синтезированные из опыта вычислений, без которых просто никак нельзя обойтись, т.к. иначе не избежать противоречий. То же самое относится к базовым теоремам, близким к аксиомам, но доказуемым. К одной из них относится основная или фундаментальная теорема арифметики. Это настолько важная теорема, что её доказательство должно быть максимально надёжным, иначе последствия могут быть непредсказуемыми.
Рисунок 33
Пирамиды начальных чисел
3.3. Основная теорема арифметики
3.3.1. Ошибки великих и письмо-завещание Ферма
Самая ранняя из известных версий теоремы дана в «Началах Евклида», книга IX, предложение 14.
Если число будет наименьшим измеряемым <данными> первыми числами, то оно не измерится никаким иным первым числом, кроме первоначально измерявших <его>.
Далее разъясняется: «Пусть число A будет наименьшим измеряемым первыми
Аксиомы действий, которые до сих пор отдельно не выделялись, также являются прямым следствием определения сущности понятия числа. Они, как способствуют обучению, так и устанавливают определенную ответственность за обоснованность любых научных изысканий в области чисел. В этом смысле последняя 6-я аксиома выглядит даже слишком категоричной. Но без такого рода ограничений в систему знаний можно протаскивать любую тарабарщину и затем называть это «прорывом в науке».
