математик того времени Джон Валлис (John Wallis), то он был очень сильно раздосадован и вынужден признать, что не может это сделать. Более двух веков считалось, что решение этой задачи получил Леонард Эйлер, но его доказательство основано на применении «комплексных чисел», а мы-то знаем, что это вовсе не числа, т.к. они не подчиняются основной теореме арифметики.
И только в конце ХХ века Андрé Вейль (André Weil) с помощью метода треугольников Ферма, всё-таки сумел получить доказательство [10]. Это был большой прогресс, т.к. здесь использован чисто арифметический метод, однако применительно к данной задаче он явно был притянут за уши. Мог ли Ферма решить эту задачу проще? Ответ на этот вопрос мы также извлечём из тайника, что позволит нам раскрыть и эту тайну науки в виде следующей реконструкции.
Итак, мы имеем уравнение p3 = q2 + 2 с очевидным решением p=3, q=5. Для доказательства утверждения Ферма, предположим, что существует ещё одно решение
P > p=3, Q > q=5, которое удовлетворяет уравнению
P3 = Q2 + 2 (1)
Поскольку очевидно, что Q>P, то пусть
Q = P + δ (2)
Подставляя (2) в (1), получим:
P2(P–1)–2δP–δ2=2 (3)
Здесь нам потребуется самая малость «остроты ума», чтобы заметить, что δ>P, иначе уравнение (3) невыполнимо. Действительно, если сделать пробу δ=P, то слева (3) будет P2(P–4)>2, что не подходит, следовательно, должно существовать число δ1=δ–P. Тогда, подставляя δ=P+δ1 в (3), получим
P2(P–4)–4δ1P–δ12 = 2 (4)
Теперь-то мы непременно заметим, что δ1>P, иначе по той же логике, что и выше, слева (4) мы получим P2(P–9)>2, что опять-таки не подходит, тогда, должно существовать число δ2=δ1–P, и подставляя δ1=P+δ2 в (4), получим
P2(P–9)–6δ2P–δ22 = 2 (5)
Вот здесь-то уже можно совсем не сомневаться, что так будет продолжаться без конца и края. Действительно, путем проб δi=P каждый раз мы получаем P2(P−Ki)>2. Каким бы ни было число Ki, это уравнение невыполнимо, поскольку если Ki<P и P>3, то P2(P−Ki)>2, а если Ki≥P, то такой вариант исключается, т.к. тогда P2(P−Ki)≤0.
Продолжать так бесконечно явно бессмысленно, следовательно, наше начальное предположение о существовании других решений P>3, Q>5 неверно и эта теорема Ферма доказана.
В часто упоминаемой нами книге Сингха эта задача приводится как пример «головоломок», которые «придумывал» Ферма. Но теперь выясняется, что универсальный метод спуска и простой приём с пробами приравненных чисел делают эту задачу одним из очень эффективных примеров для обучения в школе.
Имея это доказательство, школьники без труда смогут доказать ещё одну теорему из письма-завещания Ферма, которую в своё время мог решить только такой знаменитый на весь мир учёный, как Леонард Эйлер:
Существуют только два целочисленных квадрата, которые, увеличенные на 4, дают кубы, эти квадраты будут 4 и 121.
Иными словами, уравнение p3 = q2 + 4 имеет только два решения в целых числах.
