случайной величиной (discrete random variable), если она принимает лишь конечное или счетное число различных значений.
Чтобы задать дискретную случайную величину, достаточно указать закон распределения вероятностей этой случайной величины в следующем виде:
т. е. для каждого возможного значения случайной величины ξ задать вероятность этого значения.
Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины ξ показана на рис. 1.17.
Основные числовые характеристики дискретной случайной величины ξ определяются следующим образом:
Пример 1.48. Дана 10 %-ная облигация с полугодовыми купонами, продающаяся по номиналу, когда до ее погашения остается 20,5 года. Инвестор считает, что доходность к погашению этой облигации через 6 месяцев может принять следующие значения:
Законы распределения вероятностей цены облигации (η) и годовой реализуемой доходности за 6 месяцев (τ) указаны в таблице:
Например, если ξ = 11,0 %, то
Математическое ожидание цены облигации через 6 месяцев и ее дисперсия могут быть найдены следующим образом:
Таким образом, ожидаемое значение реализуемой доходности облигации за 6 месяцев равно 11,96 %, а ее стандартное отклонение составляет 14,81 %.
Закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин ξ и η может быть задан следующим образом:
Pij – это вероятность того, что случайная величина ξ принимает значение Xi, а случайная величина η – значение Yj, i = 1, 2, 3…, j = 1, 2, 3…, причем
Зная закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин, можно найти закон распределения вероятностей каждой из этих случайных величин, так как
Дискретные случайные величины ξ и η называются независимыми, если
Для независимых случайных величин справедливы следующие два равенства:
Ковариация (covariance) между двумя дискретными случайными величинами ξ и η определяется равенством
Корреляция (correlation) между двумя случайными величинами ξ и η определяется следующим образом:
Случайные величины называются некоррелированными, если корреляция между ними равна 0.
Пример 1.49. Совместное распределение вероятностей случайных величин ξ и η приведено в таблице:
Распределение вероятностей случайных величин ξ,η и ξη имеет следующий вид:
Ковариация и корреляция между случайными величинами
