по портфелю облигаций в течение одного года составит:
Вероятность того, что в течение года произойдет два дефолта, находится следующим образом:
Вероятность, что в течение года произойдет 5 дефолтов, составит величину:
1.22.2. Распределение Пуассона
Случайная величина ξ, принимающая значения 0, 1, 2, …, k, …, имеет распределение Пуассона (Poisson's distribution) с параметром λ > 0, если
Пример 1.53. Число дефолтов по портфелю облигаций в течение одного года имеет распределение Пуассона. Ожидаемое число дефолтов равно 8.
Вероятность того, что в течение года произойдет ровно два дефолта, можно найти по следующей формуле:
1.22.3. Нормальное распределение
Говорят, что случайная величина ξ распределена нормально (normal distribution), если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:
График плотности нормального распределения приведен на рис. 1.24.
1. Если случайная величина ξ распределена нормально с плотностью
2. Плотность нормально распределенной случайной величины симметрична относительно математического ожидания этой случайной величины, т. е. асимметрия a(ξ) = 0.
В частности,
Эксцесс нормального распределения всегда равен 3.
3. Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина будет отличаться от своего ожидаемого значения на величину, не превышающую одного, двух или трех ее стандартных отклонений, равна 68,3, 95,5 и 99,75 % соответственно.
Пример 1.54. Инвестор считает, что реализуемая доходность его портфеля облигаций за 6 месяцев имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 7 % и стандартным отклонением 4 %.
Вероятность того, что реализуемая доходность окажется:
4. Если случайная величина ξ распределена нормально с параметрами (a, S), то случайная величина
распределена нормально с параметрами (0, 1), т. е. имеет стандартное нормальное распределение.
Пример 1.55. Менеджер считает, что стоимость управляемого им портфеля облигаций распределена нормально с математическим ожиданием 10 млн долл. и стандартным отклонением 2 млн долл. Его интересует, какова вероятность, что стоимость портфеля окажется между 6 млн и 11 млн долл.
В данном случае
Пример 1.56. Предположим, что в условиях примера 1.55 менеджер хочет найти доверительный интервал для стоимости управляемого им портфеля с надежностью 95 %. Иными словами, требуется найти интервал
Тогда
