1.57. Будем считать, что доходность 10-летних облигаций с нулевыми купонами имеет логнормальное распределение с параметрами a = -2,70; S = 0,30.
3. Если две случайные величины распределены логнормально, то их произведение также имеет логнормальное распределение.
1.22.5. Распределение х2 (хи-квадрат)
Говорят, что случайная величина z имеет распределение х2 (chi-squared distribution) с n степенями свободы, если она представима в виде суммы n квадратов взаимно независимых величин со стандартными нормальными распределениями.
Пример 1.58. Даны 10 дневных наблюдений доходности 30-летних казначейских облигаций с нулевым купоном:
Если допустить, что доходность распределена нормально, то оценки математического ожидания и дисперсии доходности можно найти следующим образом:
Доверительный интервал для дисперсии доходности с надежностью 96 % можно найти из условия
1.22.6. Распределение Стьюдента
Распределение вероятностей случайной величины
называется распределением Стьюдента (Student’s t-distribution) с n степенями свободы, если случайные величины ξ и η независимы, ξ имеет стандартное нормальное распределение, а η – распределение х2 с n степенями свободы.
1. Если случайная величина t имеет распределение Стьюдента с n степенями свободы, то
Асимметрия распределения Стьюдента равна 0.
2. При возрастании числа степеней свободы распределение Стьюдента стремится к стандартному нормальному распределению. При этом распределение Стьюдента имеет более тяжелые ветви, чем стандартное нормальное распределение. На рис. 1.26 изображены графики плотности стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента с тремя степенями свободы.
3. Критическим значением распределения Стьюдента с и степенями свободы называют число ta(n), удовлетворяющее условию:
где α – заданная вероятность.
Критические значения распределения Стьюдента указаны в табл. 1.3.
4. Если случайные величины ξ1, ξ2…., ξn взаимно независимы и распределены нормально с параметрами (а, σ), то случайная величина
Пример. 1.59. В условиях примера 1.58 найдем доверительный интервал для ожидаемой доходности с надежностью 95 %.
Так как
Согласно табл. 1.3, критическое значение распределения Стьюдента t0,025(9) = 2, 262.
Следовательно,
Таким образом, с надежностью 95 % ожидаемая доходность казначейских облигаций находится между 6,57 и 6,67 %.
1.22.7. Гамма-распределение
Плотность
