регрессии в данном случае имеет вид:
Из соотношения (1.66) следует, что
Отношение суммы квадратов, объясняемой регрессией, к полной сумме квадратов называют коэффициентом детерминации и обозначают R2. Таким образом,
Коэффициент детерминации всегда находится между 0 и 1, причем чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем выше качество регрессионной модели.
Пример 1.64. Оценим качество регрессионной модели, построенной в примере 1.63.
В данном случае коэффициент детерминации может быть найден следующим образом:
Так как коэффициент детерминации очень близок к единице, то качество регрессионной модели достаточно высокое.
Оценка коэффициентов регрессии получена нами в зависимости от выборки значений X1, X2…., Xn независимой случайной величины ξ и соответствующих им значений зависимой случайной величины η. Для другой выборки значений случайной величины ξ будут получены, вообще говоря, другие оценки коэффициентов регрессии и другая случайная погрешность. В связи с этим возникает задача построения доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.
Если предположить, что случайные погрешности не коррелируют между собой (т. е. отсутствует автокорреляция), то доверительные интервалы для коэффициентов регрессии с надежностью 95 % строятся следующим образом:
Если случайная величина ξ принимает значение Х, то согласно линейной регрессионной модели:
а ожидаемое значение случайной величины η равно
При отсутствии автокорреляции[17] и гетероскедастичности[18] доверительный интервал для значения случайной величины η при заданном уровне надежности может быть найден в виде:
Пример 1.65. Инвестор считает, что через месяц доходность 10-летних казначейских облигаций окажется равной 8 %. Тогда согласно регрессионной модели, построенной в примере 1.63, ожидаемое значение доходности корпоративных облигаций будет равно
Для определения доверительного интервала для доходности корпоративных облигаций с надежностью 95 % найдем:
Следовательно, искомый доверительный интервал: (8,87 %; 8,95 %).
1.25. Метод Монте-Карло
Случайная величина γ, принимающая 10 значений: 0, 1, 2, 3, …, 9 с одинаковой вероятностью, называется случайной цифрой.
Предположим, что мы произвели N независимых опытов, в результате которых получили N случайных цифр. Записав эти цифры (в порядке их появления) в таблицу, получим то, что называется таблицей случайных цифр. Например, таблица из 150 случайных цифр может иметь следующий вид (цифры разбиты на группы для удобства чтения таблицы):
Случайным числом (random number) называется случайная величина
Автокорреляция (autocorrelation, serial correlation) – корреляционная связь между значениями одного и того же случайного процесса в различные моменты времени.
Гетероскедастичность (heteroscedasticity) – отсутствие гомоскедастичности, т. е. неоднородность дисперсии, подсчитанной по разным группам (в данном случае – неоднородность дисперсии во времени).
