1.68. Рассмотрим случайный процесс
Сечением данного случайного процесса в момент времени t = 2 является случайная величина 2η(w) + 1. Траектории случайного процесса ξ(w, t) изображены на рис. 1.27.
Пример 1.69. Случайный процесс на [0, +∞) определен следующим образом:
Сечением случайного процесса ξ(w, t) в момент времени t является случайная величина, принимающая значение 1 с вероятностью, равной P{η(w) > t}, и значение 2 с вероятностью, равной P{η(w) ≤ t}.
Траектория случайного процесса ξ(w, t) имеет вид, изображенный на рис. 1.28. Важнейшими характеристиками случайных процессов являются математическое ожидание и дисперсия.
Пример 1.70. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайного процесса из примера 1.68.
Пример 1.71. Рассмотрим случайный процесс из примера 1.69, считая, что случайная величина η(w) распределена показательно с плотностью
Случайные процессы с независимыми приращениями играют важную роль при моделировании эволюции финансовых показателей. Это объясняется тем, что финансовый рынок принято считать эффективным (efficient), если цены активов на этом рынке полностью отражают всю имеющуюся информацию об этих активах. На эффективном финансовом рынке изменения цен активов могут происходить только из-за появления новой информации (которая, вообще говоря, непредсказуема). Это означает, что изменения цены активов на таком рынке должны быть в некотором смысле независимы.
1.27. Важнейшие виды случайных процессов
1.27.1. Случайное блуждание
Сечением случайного блуждания в момент времени t0 + kh является дискретная случайная величина, закон распределения вероятностей которой имеет вид:
Траектории случайного блуждания изображены на рис. 1.29 (точками выделена одна из траекторий).
Случайное блуждание α (w, t) обладает независимыми приращениями, причем
1.27.2. Биномиальная модель
Случайный процесс β(w, t), определенный на множестве
называется биномиальной моделью (binominal model), если
Сечением биномиальной модели в момент времени t0 + kh является дискретная случайная величина, закон распределения вероятностей которой имеет вид:
Траектории биноминальной модели изображены на рис. 1.30.
Если случайный процесс β (w, t) является биномиальной моделью с параметрами u, d, p, то
Приращения биномиальной модели, вообще говоря, не являются независимыми. Однако случайный процесс ln β (w, t) имеет независимые приращения.
Случайное блуждание и биноминальная модель
