не содержащее больше неизвестного х, вы и прерываете товарища, сообщив ему, что теперь у него получилось 12.
Немного поупражнявшись, вы легко сможете показывать своим приятелям такие «фокусы».
Мнимая нелепость
ЗАДАЧА
Вот задача, которая может показаться совершенно абсурдной:
Чему равно 84, если 8 · 8 = 54?
Этот странный вопрос далеко не лишен смысла, и задача может быть решена с помощью уравнений.
Попробуйте расшифровать ее.
РЕШЕНИЕ
Вы догадались, вероятно, что числа, входящие в задачу, написаны не по десятичной системе, – иначе вопрос «чему равно 84» был бы нелепым. Пусть основание неизвестной системы счисления есть х. Число «84» означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т. е.
«84» = 8х + 4.
Число «54» означает 5х + 4.
Имеем уравнение 8 · 8 = 5х + 4, т. е. в десятичной системе 64 = 5x + 4, откуда x = 12.
Числа написаны по двенадцатеричной системе, и «84» = 8 · 12 + 4 = 100. Значит, если 8 · 8 = «54», то «84» = 100.
Подобным же образом решается и другая задача в этом роде:
Чему равно 100, когда 5 · 6 = 33?
Ответ: 81 (девятеричная система счисления).
Уравнение думает за нас
Если вы сомневаетесь в том, что уравнение бывает иной раз предусмотрительнее нас самих, решите следующую задачу.
Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец будет в 10 раз старше сына?
РЕШЕНИЕ
Обозначим искомый срок через х. Спустя х лет отцу будет 32 + х лет, сыну 5 + х. И так как отец должен тогда быть в 10 раз старше сына, то имеем уравнение
32 + х = 10 (5 + х).
Решив его, получаем х = –2.
«Через минус 2 года» означает «два года назад». Когда мы составляли уравнение, мы не подумали о том, что возраст отца никогда в будущем не окажется в 10 раз превосходящим возраст сына – такое соотношение могло быть только в прошлом. Уравнение оказалось вдумчивее нас и напомнило о сделанном упущении.
Курьезы и неожиданности
При решении уравнений мы наталкиваемся иногда на ответы, которые могут поставить в тупик малоопытного математика. Приведем несколько примеров.
I. Найти двузначное число, обладающее следующими свойствами. Цифра десятков на 4 меньше цифры единиц. Если из числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, вычесть искомое число, то получится 27.
Обозначив цифру десятков через х, а цифру единиц – через у, мы легко составим систему уравнений для этой задачи:
Подставив во второе уравнение значение х из первого, найдем:
а после преобразований:
36 = 27.
У нас не определились значения неизвестных, зато мы узнали, что 36 = 27… Что это значит?
Это означает лишь, что
