вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько было у каждого?
РЕШЕНИЕ
Расчленяем последнее уравнение на три отдельных:
откуда
Подставив эти значения в первое уравнение, получаем:
откуда х = 8. Далее находим: y = 12, z = 5, t = 20. Итак, у братьев было:
8 руб., 12 руб., 5 руб., 20 руб.
Птицы у реки
ЗАДАЧА
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной – 30 локтей, другой – 20 локтей; расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно.
Рис. 1
На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
РЕШЕНИЕ
Из схематического чертежа (рис. 2), пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем:
AB2 = 302 + x2, AC2 = 202 + (50 – x)2.
Рис. 2
Но АВ = АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому
302 + x2 = 202 + (50 – x)2.
Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем уравнение первой степени
100x = 2000,
откуда х = 20.
Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.
Прогулка
ЗАДАЧА
– Зайдите ко мне завтра днем, – сказал старый доктор своему знакомому.
– Благодарю вас. Я выйду в три часа. Может быть, и вы надумаете прогуляться, так выходите в то же время, встретимся на полпути.
– Вы забываете, что я старик, шагаю в час всего только 3 км, а вы, молодой человек, проходите при самом медленном шаге 4 км в час. Не грешно бы дать мне небольшую льготу.
– Справедливо. Так как я прохожу больше вас на 1 км в час, то, чтобы уравнять нас, дам вам этот километр, т. е. выйду на четверть часа раньше. Достаточно?
– Очень любезно с вашей стороны, – поспешил согласиться старик.
Молодой человек так и сделал: вышел из дому в три четверти третьего и шел со скоростью 4 км в час. А доктор вышел ровно в три и делал по 3 км в час. Когда они встретились, старик повернул обратно и направился домой вместе с молодым другом.
Только возвратившись к себе домой, сообразил молодой человек, что из-за льготной четверти часа ему пришлось в общем итоге пройти не вдвое, а вчетверо больше, чем доктору.
Как далеко от дома доктора до дома его молодого знакомого?
РЕШЕНИЕ
Обозначим расстояние между домами через х (км).
Молодой человек всего прошел 2х, а доктор вчетверо меньше, т. е.
