мы написали всего лишь 24, т. е. 16.
Подлинно наибольшее число из трех двоек – не 222 и не 222 (т. е. 484), а
222 = 4 194 304.
Пример очень поучителен. Он показывает, что в математике опасно поступать по аналогии; она легко может повести к ошибочным заключениям.
Тремя тройками
ЗАДАЧА
Теперь, вероятно, вы осмотрительнее приступите к решению следующей задачи.
Тремя тройками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.
РЕШЕНИЕ
Трехъярусное расположение и здесь не приводит к ожидаемому эффекту, так как
333, т. е. 327, меньше чем 333.
Последнее расположение и дает ответ на вопрос задачи.
Тремя четверками
ЗАДАЧА
Тремя четверками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.
444,
РЕШЕНИЕ
Если в данном случае вы поступите по образцу двух предыдущих задач, т. е. дадите ответ
444,
то ошибетесь, потому что на этот раз трехъярусное расположение
как раз дает большее число. В самом деле, 44 = 256, а 4256 больше чем 444.
Тремя одинаковыми цифрами
Попытаемся углубиться в это озадачивающее явление и установить, почему одни цифры порождают числовые исполины при трехъярусном расположении, другие – нет. Рассмотрим общий случай.
Тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий, изобразить возможно большее число.
Обозначим цифру буквой а. Расположению
222, 333, 444
соответствует написание
а10а+а, т. е. а11а.
Расположение же трехъярусное представится в общем виде так:
aaa.
Определим, при каком значении а последнее расположение изображает большее число, нежели первое. Так как оба выражения представляют степени с равными целыми основаниями, то бóльшая величина отвечает большему показателю. Когда же
аа > 11а?
Разделим обе части неравенства на а. Получим:
аа–1 > 11.
Легко видеть, что аа–1 больше 11 только при условии, что а больше 3, потому что
44–1 > 11,
между тем как степени
32 и 21
меньше 11.
Теперь понятны те неожиданности, с которыми мы сталкивались при решении предыдущих задач: для двоек и троек надо было брать одно расположение, для четверок и бóльших чисел – другое.
Четырьмя единицами
ЗАДАЧА
Четырьмя единицами, не употребляя никаких знаков математических действий, написать возможно большее число.
РЕШЕНИЕ
Естественно
