второе из них:
2222 = 222-11 = (222)11 = 48411.
Последнее число больше, нежели 2222, так как и основание, и показатель у степени 48411 больше, чем у степени 2222.
Сравним теперь 2222 с четвертым числом первой строки – с 2222. Заменим 2222 бóльшим числом 3222 и покажем, что даже это большее число уступает по величине числу 2222. В самом деле,
3222 = (25)22 = 2110
– степень меньшая, нежели 2222.
Итак, наибольшее число верхней строки – 2222. Теперь нам остается сравнить между собой пять чисел – сейчас полученное и следующие четыре:
Последнее число, равное всего 216, сразу выбывает из состязания. Далее, первое число этого ряда, равное 224 и меньшее, чем 324 или 220, меньше каждого из двух следующих. Подлежат сравнению, следовательно, три числа, каждое из которых есть степень 2. Больше, очевидно, та степень 2, показатель которой больше. Но из трех показателей
222, 484 и 220 + 2 (= 210 · 2 · 22 ≈ 106 · 4)
последний – явно наибольший.
Поэтому наибольшее число, какое можно изобразить четырьмя двойками, таково:
Не обращаясь к услугам логарифмических таблиц, мы можем составить себе приблизительное представление о величине этого числа, пользуясь приближенным равенством
210 ≈ 1000.
В самом деле,
Итак, в этом числе – свыше миллиона цифр.
Глава вторая
Язык алгебры
Искусство составлять уравнения
Язык алгебры – уравнения. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», – писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика». Как именно выполняется такой перевод с родного языка на алгебраический, Ньютон показал на примерах. Вот один из них.
Чтобы определить первоначальный капитал купца, остается только решить последнее уравнение.
Решение уравнений – зачастую дело нетрудное; составление уравнений по данным задачи затрудняет больше. Вы видели сейчас, что искусство составлять уравнения действительно сводится к умению переводить «с родного языка на алгебраический». Но язык алгебры весьма немногословен; поэтому перевести на него удается без труда далеко не каждый оборот родной речи. Переводы попадаются различные по трудности, как убедится читатель из ряда приведенных далее примеров на составление уравнений первой степени.
Жизнь Диофанта
ЗАДАЧА
История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи. Мы приведем эту надпись.
РЕШЕНИЕ
Решив уравнение и найдя, что x = 84, узнаем следующие черты биографии Диофанта;
