de un número determinado de meses, sabiendo que cada pareja al mes tiene una nueva pareja de bebés, la cual no tendrá conejos hasta que sea adulta, lo que ocurre a los dos meses de nacer. En el primer mes hay una pareja, en el segundo hay una pareja, al tercer mes hay dos parejas, al cuarto hay tres parejas, al quinto hay cinco parejas, etc. A partir de este modo de crecimiento de la población se forma la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Si uno hace la gráfica de la serie, podrá observar que la forma que adopta es similar a una función geométrica. El primer término más el segundo da el tercero, el segundo más el tercero da el cuarto, el tercero más el cuarto da el quinto, y así sucesivamente. Es raro que la sucesión de Fibonacci no haya tenido ninguna influencia en los modelos sobre la dinámica demográfica, ya que describe de una manera fiel la evolución de este tipo de población. La sucesión puede expresarse matemáticamente mediante la siguiente fórmula recursiva:
Pt+1 = Pt + Pt–1
En las condiciones iniciales P1 y P2 son iguales a 1. En 1728 Daniel Bernoulli obtuvo una ecuación exacta para describir la sucesión de números de Fibonacci:
Es importante destacar que la razón
Desde el punto de vista de las poblaciones humanas, las primeras proyecciones demográficas que se realizaron fueron las de la población total, pues no se contaba con información sobre nacimientos, defunciones y mucho menos sobre migración. Las perspectivas de población de Inglaterra y Gales, realizadas por Gregory King, economista y estadístico inglés, hacia finales del siglo XVII, se basaban en el tiempo de duplicación de la población, el cual se puede expresar en la fórmula: td = 70/(r%) donde td es el tiempo de duplicación de la población y r% es la tasa de crecimiento demográfico. En el caso de que la tasa de crecimiento de la población fuera negativa, la interpretación cambiaría. La pregunta que se debe hacer es: ¿en cuánto tiempo la población pasa a la mitad? Si el crecimiento demográfico fuera, por ejemplo, de –3.5%, diríamos que en 20 años la población se reduciría a la mitad.
Podemos señalar que el trabajo de Gregory King (1648-1712) fue pionero en la economía cuantitativa. En sus estimaciones describe las características demográficas de la población de Inglaterra y Gales por edad, sexo, estado civil, número de niños y criados. Gregory King también realizó sondeos como ejercicios estadísticos de Estado, con la idea de estimar los recursos naturales de Inglaterra y analizar sus posibilidades de librar una guerra prolongada contra Francia.[8] Gregory King es conocido como el creador de las proyecciones de población de largo plazo. Escribió que la población podría llegar a 6 500 millones de habitantes en el año 20 000. La verdad es que esa población se alcanzó al principio del siglo XXI, pero lo importante es que él ya aventuraba una cifra a muy largo plazo.[9]
Otro tipo de métodos que se aplicaron intentaron responder a la pregunta ¿cuántos habitantes caben en el planeta? Esta pregunta se la hizo Antonie van Leeuwenhoek, nacido en Holanda en 1632, a quien se le conoce como el padre de la microscopia. Su interés no estaba en la demografía sino en el tamaño y número de los objetos que había estado investigando al microscopio. Para estimar la capacidad máxima de personas en la Tierra no aplicó modelos sofisticados, sino, como buen pañero, utilizó la simple aritmética y quizás una regla de tres, a partir de áreas y densidades de población. La cifra máxima que calculó para el planeta fue de 13 385 millones de individuos. Curiosamente el interés de Leeuwenhoek de calcular el número de diminutos animales vistos en el microscopio lo llevó a obtener una estimación del número máximo de habitantes que caben en la Tierra.[10]
A mediados del siglo XVIII, Leonhard Euler trabajó sobre la dinámica de la población. Se planteó preguntas acerca de la población que habría en un siglo conociendo la tasa de crecimiento. También se preguntaba cuál sería la tasa de crecimiento demográfico, dados ciertos montos al principio y al final de un periodo y cuál sería la tasa de crecimiento si la población se duplicaba cada siglo. Euler no tenía poderosas máquinas de calcular, sino sólo unas tablas de logaritmos que le permitían realizar cálculos complejos.[11] Euler fue uno de los pioneros en la introducción del concepto de estabilidad en Demografía. El trabajo de Leonard Euler realizado en 1760 fue básico en el desarrollo de la teoría de las poblaciones estables.[12]
Thomas Malthus también realizó proyecciones de población utilizando la función geométrica de crecimiento. Pronto, él mismo advirtió que este tipo de proyecciones eran poco confiables y poco realistas debido a la irregularidad de las epidemias y las hambrunas.
Malthus decía lo siguiente:
Supongamos que la población de nuestra isla es de 11 millones de habitantes y que la producción basta para sostener bien a ese número de personas. Al cabo de los 25 primeros años la población sería de 22 millones de habitantes y, habiéndose doblado la producción de alimentos, los medios de subsistencia seguirían bastando para la población. En los 25 años siguientes, la duplicación sería de 44 millones y los medios de subsistencia sólo bastarían para mantener a 33 millones de habitantes. En el siguiente periodo de 25 años la población sería de 88 millones y los alimentos sólo bastarían para mantener a la mitad de ese número de personas. Y al finalizar el primer siglo la población sería de 176 millones de habitantes y los abastecimientos sólo podrían mantener a 55 millones, lo que dejaría sin medios de subsistencia a 121 millones.[13]
Malthus analizaba la diferencia entre un crecimiento geométrico y uno aritmético. Decía que mientras el crecimiento geométrico adopta la forma según la serie 1, 2, 4, 8, 16, 32…, el crecimiento lineal sigue la serie 1, 2, 3, 4, 5, 6... El comportamiento de ambas series es discreto. Sin embargo, el crecimiento que se añade a la población al final del año no es realista, aunque es un momento en el que se establece un punto de corte. Los eventos demográficos ocurren de manera continua, la gente no espera al último día del año para morirse o para tener a sus hijos o para cambiar de residencia.
Una forma matemática de expresar la dinámica demográfica es a través del crecimiento exponencial, el cual se deriva de la ecuación diferencial:
Si la tasa de crecimiento demográfico es constante en esta ecuación diferencial, la población crece en forma exponencial de la siguiente manera:
A partir de este modelo se desarrolla la teoría de las poblaciones estables. Se supone que la población es cerrada a la migración. Es importante reconocer que Malthus advirtió que la población no podía crecer en forma geométrica.
Posteriormente, Verhulst fue el primero que propuso, en 1838, el uso de la función logística
