подвешенного груза Q. Установим силы, действующие на каждый из трех стержней. Считаем их растягивающими. Для их определения рассмотрим равновесие точки А. Схема действия сил на рисунке 2.2.
Рис. 2.2
Точка А в результате деформации переместится в точку А1. Отрезок АА1 – удлинение среднего стержня Δℓ3. Отрезки АВ2 и АС2 – удлинения первого стержня ∆ℓ1 и второго – ∆ℓ2 соответственно. Определим удлинения стержней ∆ℓ1, ∆ℓ 2, ∆ℓ3 по закону Гука
Найдя из чертежа зависимость между этими удлинениями, получим дополнительное уравнение совместности деформаций. Из треугольника А1АВ2 имеем:
АВ2 = АА1cosα или ∆ℓ1 = ∆ℓ3cosα
Подставляя значения ∆ℓ1 и ∆ℓ3 в это уравнение, получим:
Из треугольника АВД получаем ℓ3 = ℓ1cosα, тогда
Подставляем значение N1 в уравнение равновесия и получаем:
По величинам этих усилий и допускаемым напряжениям определим F1 и F3 из условий:
8. Напряжения, возникающие при изменении температуры
В статически неопределимых системах возникают напряжения при отсутствии внешних нагрузок не только от неточности изготовления и сборки, но и от изменения температуры. Возьмем стержень, защемленный неподвижно концами при температуре t1. Длина стержня ℓ, площадь поперечного сечения F, модуль упругости Е. Определить напряжения при изменении температуры до t2. Выясним, какие силы будут действовать на стержень, если температура повысится от t1 до t2. Стержень стремится удлиниться и будет распирать опоры А и В. Со стороны этих опор будут действовать реакции, они и вызовут сжатие стержня. Их величины нельзя найти из уравнений статики, так как единственное условие равновесия дает нам, что реакции опор в точках А и В равны по величине и прямо противоположны. Задача статически неопределимая.
RA = RB
Для составления дополнительного уравнения мысленно отбросим одну из опор, например, опору В и дадим стержню деформироваться в зависимости от температуры на величину ∆ℓt. По законам физики
∆ℓt = αℓ(t2 – t1),
где α – коэффициент линейного расширения материала. Но так как длина стержня, закрепленного концами, остается и при нагревании неизменной, вернем опору В в первоначальное положение. Стержень укоротится на величину
∆ℓRB = ∆ℓt
Это и есть условие совместности деформаций; оно указывает на то, что при изменении температуры длина стержня не изменилась, он не оторвался от неподвижных опор. По закону Гука
Приравнивая обе деформации, получаем:
откуда RB = α×(t2-t1)×EF;
Напряжение, вызванное изменением температуры
