преобразования, запишем соотношения в виде:
σα = σ1cos2α + σ2sin2α
τα = 0,5(σ1 + σ2)sin2α
Полученные формулы определяют нормальные и касательные напряжения в случае объемно-напряженного состояния материала, они же соответствуют двухосному плоско-напряженному состоянию.
Максимальное касательное напряжение при объемном напряженном состоянии материала существует на площадке, параллельной напряжению σ2, нормаль к площадке составляет угол в 45° и определяется по формуле:
τmax = 0,5(σ1 – σ3)
14. Деформации при плоском и объемном напряженных состояниях (обобщенный закон Гука)
В пределах упругого деформирования была установлена прямая зависимость между нормальным напряжением σ и относительной деформацией ε, носящая название закона Гука.
σ = Ee
Для нахождения деформации нужно выбрать одну из точек исследуемого тела и мысленно рассмотреть элементарный кубик в ее окрестности, на который действуют главные напряжения. Деформация кубика происходит во всех трех направлениях главных напряжений σ1, σ2, σ3. Такие деформации называются главными деформациями и обозначаются ε1, ε2, ε3. Совокупность главных деформаций в точке тела определяет деформированное состояние в точке.
Чтобы определить главные деформации объемного напряженного состояния, сначала определим деформации, связанные с отдельными главными напряжениями и сложим результаты. Деформация ε1 напряжения σ1 в том же направлении, что и σ1 из закона Гука равна:
Тогда деформация от всех главных напряжений в направлении σ1
Таким же образом определяются деформации в направлении других главных напряжений.
В результате получим следующую систему уравнений, представляющую собой закон Гука в общем виде:
Эти уравнения можно записать для линейного и плоского напряженного состояния материалов, если убрать соответствующие слагаемые.
Из полученной системы уравнений видно, что, зная главные напряжения, можно найти напряженное и деформированное состояния в точке, причем эти состояния могут не совпадать.
15. Потенциальная энергия при сложном напряженном состоянии
При возникновении деформации внешние силы совершают работу, связанную со смещением точек приложения этой силы. Элементарная работа dA внешней силы F определяется по формуле:
dA = Fdl’
где dl’ – перемещение точки приложения силы.
Из закона Гука известно:
В этом соотношении l – длина рассматриваемого участка до деформации;
dl – изменение длины;
a – площадь поперечного сечения тела.
Таким образом,
dA = Eadl’dl / l
Проинтегрировав полученное равенство от нуля до окончательного значения перемещения l’, найдем полную
