dass seine jeweils aktuelle Bewegungsrichtung genau auf das erste Objekt zeigt. Man bestimme die vom Verfolger zurückgelegte Bahnkurve.
Aufgabe 2.7 Gleichmäßige Bewegung auf einer Schraubenlinie
Ein Punkt bewegt sich auf einer Schraubenlinie, die durch die Trajektorie
in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt wird. Man bestimme υ, |υ|, a, |a| sowie das begleitende Dreibein und zerlege Geschwindigkeit und Beschleunigung in Tangential- und Normalkoordinaten. Schließlich gebe man noch υ und a in Zylinderkoordinaten an.
Aufgabe 2.8 Verjüngte Christoffel-Symbole
Man zeige, dass zwischen den verjüngten Christoffel-Symbolen
besteht. Hinweis: Man nutze die Zerlegung der Determinante |g| nach der i-ten Zeile entsprechend der Regel
wobei die Größe Gαγ die dem jeweiligem Element gαγ zugeordnete Unterdeterminante ist. Man beachte, dass dabei über α nicht summiert wird, sondern die Summation ausschließlich über minanten γ erfolgt.3) Zudem beachte man, dass die Unterdeterminanten Gαγ auch zur Darstellung des inversen metrischen Tensors entsprechend
Aufgabe 2.9 Geodäten in zweidimensionalen Riemann’schen Räumen
Bahnkurven, die beschleunigungsfrei durchlaufen werden, heißen Geodäten. Man bestimme die Geodäten für die zweidimensionale Ebene, den Zylindermantel und die Kugeloberfläche.
Aufgabe 2.10 Modifizierte Kepler’sche Gesetze
Gegeben sind die folgenden modifizierten Kepler’schen Gesetze:
1 Alle Massenpunkte bewegen sich auf Ellipsen, in deren Mittelpunkt der Zentralpunkt liegt.
2 Der vom Zentrum zu einem Massenpunkt gezogene Ortsvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
3 Die Umlaufzeit ist für alle Massenpunkte gleich groß.
Man rekonstruiere aus diesen Gesetzen die Bewegungsgleichungen.
1 1) Die korrekte Darstellung wäre hier, wie im späteren Verlauf auch meistens verwendet, r(t) = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez. Die Darstellung als Koordinatentupel erweist sich aber oft als zweckmäßig, wenn man mit einem kartesischen Koordinatensystem arbeitet. Dass die Tupeldarstellung ihre Grenzen hat, erkennt man z. B. bei den später genauer betrachteten Kugelkoordinaten. Während zwei Vektoren des gleichen dreidimensionalen Raumes immer addiert werden können, gilt das für die Koordinatentupel beider Vektoren bei Verwendung von Kugelkoordinaten nicht, wohl aber bei kartesischen Koordinaten. Tatsächlich werden alle Bedingungen an die Vektoren eines linearen Vektorraumes auch von den Koordinatentupeln der kartesischen Koordinaten erfüllt, sodass es für kartesische Koordinatensysteme keinen Unterschied macht, welche der beiden Darstellungen man verwendet.
2 2) Diese Aussage lässt sich auf beliebige Einheitsvektoren verallgemeinern. Ausgangspunkt ist die Forderung e2 = 1. Dann ist immer de2 = 2e de = 0, d. h., der Einheitsvektor und die infinitesimale Änderung des Einheitsvektors sind zueinander orthogonal.
3 3) Es gibt damit für die Determinante entsprechend der Anzahl der Zeilen des metrischen Tensors mehrere Zerlegungen.
Конец ознакомительного фрагмента.
Текст предоставлен ООО «ЛитРес».
Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.
Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.
