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Um die radiale Komponente der Geschwindigkeit zu bestimmen, berechnen wir
(2.103)
wobei wir im letzten Schritt (2.101) benutzt haben. Die nochmalige Differentiation nach der Zeit liefert dann
(2.104)
Aus dieser Gleichung eliminieren wir cos φ mithilfe von (2.99) und erhalten
(2.105)
Aus (2.37) und mit dem Flächensatz (2.101) ergibt sich dann die Radialbeschleunigung
(2.106)
und damit
(2.107)
Bis auf die Bestimmung des Verhältnisses Ȧ2/p ist damit unser Problem gelöst. Um auch das bis jetzt noch willkürliche Verhältnis zu fixieren, benötigt man das dritte Kepler’sche Gesetz. Die hier auftretende Umlaufzeit berechnet man am einfachsten aus (2.101) und (2.99). Aus diesen beiden Gleichungen kann man r eliminieren und erhält
(2.108)
woraus sich die Umlaufzeit durch Integration ergibt. Wir erhalten für den halben Umlauf
(2.109)
Die Länge der großen Halbachse kann ebenfalls aus (2.99) bestimmt werden. Sie ist einfach gegeben durch das arithmetische Mittel des kürzesten und längsten Abstandsradius, also
(2.110)
Damit ist dann
(2.111)
Dieses Verhältnis ist aber nach dem dritten Kepler’schen Gesetz für alle Planeten gleich. Demnach ist aber auch C0 = Ȧ2/p eine, zumindest für unser Planetensystem, universelle Konstante. Wir kommen daher zu dem Schluss, dass alle Planeten der Bewegungsgleichung
(2.112)
genügen. Im Prinzip haben wir damit das bekannte Newton’sche Gravitationsgesetz aus den Kepler’schen Beobachtungen abgeleitet.
Kontrollfragen
1 Wie ist ein physikalisches Bezugssystem definiert?
2 Welcher Unterschied besteht zwischen Vektoren, Koordinaten und Basisvektoren?
3 Welche Eigenschaften muss ein orthogonales Koordinatensystem erfüllen?
4 Ist jedes orthogonale Koordinatensystem kartesisch?
5 Wie sind Geschwindigkeit und Beschleunigung definiert?
6 Wie erfolgt die Konstruktion des begleitenden Dreibeins?
7 Welche Eigenschaften haben Geschwindigkeit und Beschleunigung in einem begleitenden Dreibein?
8 Welche Beschleunigungskomponenten sind bei der gleichförmigen Bewegung eines Punktes auf einer Kreisbahn zu erwarten?
9 Welche Eigenschaften hat ein metrischer Tensor?
10 Wie sind die Christoffel-Symbole definiert?
11 Was besagt der Flächensatz für die Abhängigkeit der Winkelgeschwindigkeit vom Radialabstand?
Aufgaben
Aufgabe 2.1 Geschwindigkeitssuperposition: Vorhaltewinkel
Ein Flugzeug mit einer konstanten Fluggeschwindigkeit υ0 (Eigengeschwindigkeit) hat eine Distanz der Länge L zu überwinden. Auf der gesamten Strecke liegt eine unveränderliche Wettersituation mit konstanter Windgeschwindigkeit υω vor. Man bestimme Flugzeit und Vorhaltewinkel, wenn das Flugzeug auf einer geraden Strecke vom Start zum Ziel fliegt.
Aufgabe 2.2 Geschwindigkeitssuperposition: Flussüberquerung
Ein Boot startet mit der Geschwindigkeit υ0 am Ufer eines Flusses der Breite B senkrecht zur Strömungsrichtung. Die Strömungsgeschwindigkeit habe einen parabolischen Verlauf. In der Mitte des Flusses hat sie ihr Maximum υmax, an den Ufern ist υ = 0. Man bestimme die Bahnkurve des Bootes. Wo am gegenüberliegenden Ufer liegt der Landepunkt?
Aufgabe 2.3 Bewegung auf einer hyperbolischen Spirale
Ein Punkt bewegt sich entlang einer hyperbolischen Spirale, die in kartesischen Koordinaten die Darstellung x = bt−1 cos αt und y = bt−1 sin αt hat. Man bestimme Radial- und Winkelanteil der Geschwindigkeit und der Beschleunigung.
Aufgabe 2.4 Konstante Bewegung auf der archimedischen Spirale
Ein Punkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer archimedischen Spirale. Man bestimme in Polarkoordinaten die Abhängigkeit des Polarwinkels von der Zeit und die Radial- und Winkelbeschleunigung in Abhängigkeit vom Polarwinkel.
Aufgabe 2.5 Restriktive Bewegung auf der logarithmischen Spirale
Ein Massenpunkt bewegt sich auf einer logarithmischen Spirale r = R0eμφ mit der Anfangsbedingung r(0) = R0 in solcher Weise, dass der Abstand vom Pol mit der Zeit proportional anwächst. Man berechne die Komponenten von Geschwindigkeit und Beschleunigung in ebenen Polarkoordinaten und nehme außerdem deren Zerlegung in Normal- und Tangentialkomponenten vor.
Aufgabe 2.6 Tracking-Probleme
Ein beliebtes kinematisches Problem ist
