Mechanik. Michael Schulz

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sofort die beiden Beziehungen

      (2.14)

      (2.15)

      oder, wenn wir die einzelnen Komponenten in Koordinatentupeln zusammenfassen,

      (2.16)

      (2.17)

      Die Beträge der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ergeben sich wegen der kartesischen Struktur des Koordinatensystems zu

      (2.18)

      und

      (2.19)

      Kartesische Koordinatensysteme sind wegen der Unabhängigkeit der Basisvektoren e_x, e_y und e_z von Raum und Zeit besonders populär. Es ist aber nicht immer sinnvoll, jedes Problem in kartesischen Koordinaten zu formulieren. Vielmehr gibt es Situationen, in denen andere Koordinatensysteme weitaus besser geeignet sind.

2.2.2 Zylinderkoordinaten, ebene Polarkoordinaten

Bei Bewegungen in einer Ebene können wir die Bewegung des Massenpunktes anstatt in kartesischen Koordinaten x(t) und y(t) auch in Polarkoordinaten ausdrücken. Die Trajektorie des Punktes ist durch den zeitabhängigen Betrag des Abstandsvektors zwischen dem Massenpunkt und dem Ursprung des Koordinatensystems r(t) = |r(t)| und durch den zeitabhängigen Winkel φ(t) des Abstandsvektors gegenüber einer festgelegten Achse gegeben, siehe Abb. 2.3. Um Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung in diesen Variablen auszudrücken, führen wir die zwei ortsabhängigen Einheitsvektoren e_r und e_φ ein. Der Vektor e_r weist in die Richtung des Ortsvektors, e_φ steht senkrecht auf ihm. Dabei geht e_φ aus e_r hervor, indem man e_r in positiver φ-Richtung um 90° dreht. Damit lautet der zweidimensionale Ortsvektor in Polarkoordinaten

      (2.20)

      Diese Darstellung läßt sich auf den dreidimensionalen Raum erweitern, indem man einen dritten Basisvektor e_z einführt, der senkrecht auf der durch die beiden Polarkoordinaten beschriebenen Ebene steht. Man gelangt dann zu Zylinderkoordinaten mit dem Ortsvektor

      (2.21)

      Dei z-Komponente verhält sich weiterhin „kartesisch“, sodass wir uns bei der Ableider Darstellung von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zunächst auf Polarkoordinaten beschränken.

      Wenn sich jetzt der Massenpunkt von P nach P′ bewegt, ändert sich gewöhnlich die Richtung des Ortsvektors r und damit auch die Orientierung der beiden zu diesem Ortsvektor gehörigen Einheitsvektoren e_r und e_φ. Im Gegensatz zu den kartesischen Einheitsvektoren e_x und e_y werden daher e_r und e_φ im Allgemeinen über den Ortsvektor von der Zeit abhängen.

Abb. 2.3 Ebene Polarkoordinaten und kartesische Koordinaten. Die

Um diese Abhängigkeiten zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor. Zunächst stellen wir fest, dass die Änderung de_r senkrecht auf e_r stehen muss. Diese Aussage haben wir bereits im vorangegangenen Abschnitt für den Tangenteneinheitsvektor bewiesen²⁾ und auf beliebige Einheitsvektoren verallgemeinert. Deshalb wird auch die Änderung de_φ senkrecht auf e_φ stehen. Damit haben wir die beiden Orthogonalitätsrelationen

      (2.22)

      (2.23)

      Für den Betrag der Änderung folgt aus einfachen trigonometrischen Überlegungen, die wir uns am besten an der Abb. 2.3 klarmachen

      (2.24)

      (2.25)

      Wenn wir noch durch das für die Änderung benötigte Zeitintervall Δt dividieren, erhalten wir in der Grenze Δt → 0

      (2.26)

      Aus Abb. 2.3 ist unmittelbar ersichtlich, dass die Änderung von e_r in die Richtung e_φ weist und die Änderung von e_φ in die Richtung von −e_r. Damit erhalten wir endgültig

(2.27)

      Diese Ergebnisse können wir auch auf einem anderen Weg erhalten. Dazu zerlegen wir die Einheitsvektoren e_r und e_φ in ihre kartesischen Komponenten

(2.28)

(2.29)

Da die kartesischen Einheitsvektoren zeitlich invariant sind, wirkt die zeitliche Ableitung allein auf die cos φ- und sin φ-Faktoren. Wir erhalten somit wieder die Beziehungen (2.27), unter Verwendung von (2.28) und (2.29):

      (2.30)

      (2.31)

      Wir

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