handelt sich dabei um ein grundlegendes Prinzip der Physik. Die objektive Realität – hier die Bahnkurve – ist unabhängig vom Beobachter und damit von der subjektiv gewählten Darstellung – hier der Beschreibung der Trajektorie in einem willkürlich gewählten Koordinatensystem.
Neben dem Koordinatensystem spielt der jeweilige Raum, in dem das physikalische Problem eingebettet ist, eine große Rolle. Der Standardraum der klassischen Mechanik ist der dreidimensionale euklidische Raum. Solange wir nichts anderes vereinbaren, wollen wir in Zukunft diesen Raum voraussetzen.
2.1.2 Weglänge, Verrückung, Geschwindigkeit
Wenn ein Massenpunkt sich entlang seiner Bahnkurve bewegt (vgl. Abb. 2.2), dann wird er zu einer gewissen Zeit t den Punkt P mit dem Ortsvektor r(t) erreicht haben und sich zu einem etwas späteren Zeitpunkt t′ = t + Δt bei P′ mit dem Ortsvektor r(t + Δt) = r(t) + Δr befinden. Während seiner Bewegung durchläuft der Massenpunkt den Bogen
(2.2)
nennt man den im Zeitintervall Δt zurückgelegten Weg. Der Vektor
(2.3)
ist dagegen die im Zeitintervall Δt erfolgte Verschiebung oder Verrückung. Die Geschwindigkeit υ des Massenpunktes ist durch den folgenden Grenzwert definiert:
(2.4)
Aus der Kenntnis der Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit kann der während des endlichen Zeitintervalls Δt zurückgelegte Weg berechnet werden. Sind die beiden Punkte nur infinitesimal weit voneinander entfernt, dann gilt
Hat der Weg zwischen den beiden Punkten P und P′ eine endliche Länge, dann ist diese gerade die Summe aller aufeinanderfolgenden, zurückgelegten infinitesimalen Wegstrecken
Abb. 2.2 Verrückung Δr entlang einer Bahnkurve zwischen den Punkten P und P′.
Dagegen ist die Verrückung im Zeitintervall Δt einfach durch das Integral
(2.8)
gegeben. In euklidischen Räumen ist der zwischen den Punkten P und P′ zurückgelegte Weg Δs nie kleiner als die direkte Distanz |Δr| zwischen beiden Punkten,
(2.9)
Für |υ(t)| ≠ 0 kann neben der Zeit t die Bogenlänge s als eine alternative Größe zur Parametrisierung der Bahnkurve verwendet werden. Wir können also schreiben
(2.10)
wobei der Index b bedeutet, dass die Bahnkurve als Funktion der Bogenlänge (und nicht der Zeit) zu verstehen ist. Während die Abhängigkeit der Bahnkurve von der Bogenlänge die differentialgeometrischen Aspekte betont, entspricht die Darstellung der Bahnkurve als Funktion der Zeit der üblichen kinematischen Interpretation. Der integrale Zusammenhang zwischen der Bogenlänge s und der Zeit t ist durch (2.7) gegeben, während der differentielle Zusammenhang
unmittelbar aus (2.6) folgt. Gleichungen von diesem Typ werden in der Physik als lokale Transformationsgleichungen bezeichnet. In unserem speziellen Fall wird eine Transformation zwischen der Zeit und der ihr äquivalenten Bogenlänge der Trajektorie hergestellt.
2.1.3 Beschleunigung
Die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit wird durch die Beschleunigung beschrieben. Der Beschleunigungsvektor ist damit definiert als
Die Beschleunigung a ist wie die Geschwindigkeit υ eine Funktion der Zeit. Der Beschleunigungsvektor liegt in der Schmiegungsebene der Bahnkurve und zeigt dort in Richtung der konkaven Seite der Trajektorie. Da die meisten physikalisch relevanten Bahnkurven hinreichend glatt sind, lassen sich auch beliebige höhere zeitliche Ableitungen bilden. Diese spielen aber innerhalb der klassischen Mechanik nur eine untergeordnete Rolle und werden deshalb nicht weiter betrachtet.
2.2 Dekomposition von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen
2.2.1 Kartesische Koordinaten
Wir bezeichnen mit ex, ey und ez die orthogonalen Einheitsvektoren in einem kartesischen Koordinatensystem. Dann wird der Ortsvektor folgendermaßen dargestellt:
Der Ortsvektor ist zeitabhängig und beschreibt damit eine Raumkurve, die im kartesischen Koordinatensystem durch die drei zeitabhängigen Koordinaten und die drei zeit- und ortsunabhängigen Basisvektoren beschrieben wird. Im Weiteren werden wir das Zeitargument in der Regel nicht mehr explizit aufführen. Ausnahmen machen wir nur dann, wenn das für das Verständnis notwendig ist. Nach (2.5, 2.12) erhalten wir die Geschwindigkeit und die Beschleunigung, wenn wir den Ortsvektor einmal bzw. zweimal nach der Zeit differenzieren. Bei dieser Differentiation berücksichtigen wir, dass sich die Einheitsvektoren in einem
