2.2.4 Begleitendes Dreibein
Wir betrachten ein Stück einer Bahnkurve (vgl. Abb. 2.5) eines Massenpunktes und darauf zwei benachbarte Punkte P und P′ mit den Ortsvektoren r und r′ = r + Δr. Das Bogenstück
definierte Vektor t wird als Tangenteneinheitsvektor bezeichnet. Da wir mit dem Tangenteneinheitsvektor ein typisches differentialgeometrisches Objekt berechnen, haben wir in Formel (2.55) zweckmäßigerweise die Darstellung der Bahnkurve als Funktion der Bogenlänge gewählt. Aus (2.55) und der Differentialrelation (2.6)folgt unmittelbar die Normierungsbedingung
(2.56)
Wir wenden uns jetzt zwei Tangenteneinheitsvektoren t und t′ = t + Δt in den benachbarten Punkten P und P′ zu (vgl. Abb. 2.6). Die Änderung des Tangenteneinheitsvektors Δt ist dann durch
(2.57)
bestimmt. Die durch die beiden Vektoren t und t′ oder alternativ durch t und Δt aufgespannte Ebene wird in der Grenze Δs → 0 als Schmiegungsebene bezeichnet. Offenbar kann zu jedem Punkt der Bahnkurve eine andere Schmiegungsebene existieren. Der auf dem Tangentenvektor t(s) senkrecht stehende und in der Schmiegungsebene liegende Einheitsvektor wird Hauptnormalenvektor n(s) genannt.
Wir wollen jetzt beweisen, dass die Änderung von t in der Richtung der Hauptnormalen liegt. Da die Schmiegungsebene per Definition durch die Vektoren t und Δt aufgespannt wird, müssen wir nur noch zeigen, dass in jedem Punkt P der Bahnkurve die beiden Vektoren t und Δt orthogonal zueinander stehen. Dazu nutzen wir die Tatsache, dass die Änderung eines beliebigen Einheitsvektors stets senkrecht auf diesem steht. Insbesondere folgt durch Differentiation von
(2.58)
nach der Bogenlänge
(2.59)
Abb. 2.5 Tangenteneinheitsvektor t an den Punkt P im Vergleich zur Verrückung Δr.
Abb. 2.6 Tangenteneinheitsvektoren bei der Bewegung entlang der Bahnkurve von P nach P′ und die zugehörigen Normaleneinheitsvektoren. Beim Übergang dφ → 0 wird die Ände-rung des Tangenteneinheitsvektors parallel zum Normaleneinheitsvektor.
und damit wegen der Kommutativität des vektoriellen Skalarproduktes
(2.60)
Damit haben wir gezeigt, dass die Änderung von t in der Richtung der Hauptnormalen liegt.
Wir wollen jetzt noch den Betrag der Änderung bestimmen. Dazu betrachten wir noch einmal Abb. 2.6. Der Winkel dφ ist dann einerseits gegeben durch die differentielle Änderung des Tangenteneinheitsvektors
(2.61)
andererseits ist der Winkel aber auch durch den lokalen Krümmungsradius R(s) entsprechend
(2.62)
Abb. 2.7 Begleitendes Dreibein aus Tangenten-, Normalen- und Binormaleneinheitsvektor.
definiert. Durch Elimination von dφ aus diesen beiden Gleichungen findet man
(2.63)
Wir kennen jetzt sowohl den Betrag der Ableitung des Tangenteneinheitsvektors nach der Bogenlänge als auch deren Orientierung im Raum. Benutzen wir schließlich die Eigenschaft, dass der Hauptnormalenvektor entsprechend |n(s)| = 1 normiert ist, dann erhalten wir
Wir können also entlang einer beliebigen, mindestens zweimal differenzierbaren Bahnkurve in jedem Punkt die beiden zueinander orthogonalen Vektoren t und n bestimmen. Dieses Paar kann um einen dritten, auf t und n senkrecht stehenden Vektor ergänzt werden. Dieser Vektor wird als Binormale b bezeichnet. Die Orientierung des Binormalenvektors wird so gewählt, dass die Vektoren t, n und b ein Rechtssystem bilden. Dieses Orthogonalsystem ist in jedem Punkt der Bahnkurve erklärt, aber seine räumliche Orientierung kann ständig variieren. Deshalb spricht man auch von einem begleitenden Dreibein (vgl. Abb. 2.7).
Wir wollen jetzt die aus der Bahnkurve folgende Geschwindigkeit und Beschleunigung des Massenpunktes in Komponenten des begleitenden Dreibeins ausdrücken. Für die Geschwindigkeit erhält man mit der Transformationsformel (2.11)
(2.65)
Die Geschwindigkeit hat also in dem begleitenden Dreibein die Komponenten
(2.66)
wobei wir die übliche Vereinbarung υ = |υ| genutzt haben. Auch in Zukunft wollen wir den Betrag eines beliebigen Vektors u durch u kennzeichnen.
